Номер 108, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом $60^\circ$, а из центра второго — под углом $120^\circ$.

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом $60^\circ$, а из центра второго — под углом $120^\circ$.

Пусть $L$ - длина общей хорды, $R_1$ и $S_1$ - радиус и площадь первого круга, а $R_2$ и $S_2$ - радиус и площадь второго круга. Требуется найти отношение площадей $\frac{S_1}{S_2}$.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Следовательно, искомое отношение площадей равно отношению квадратов их радиусов:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2$

Для нахождения отношения радиусов выразим длину хорды $L$ через радиус каждого круга.

Для первого круга:

В первом круге хорда $L$ видна из центра под углом $60^\circ$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами $R_1$ и хордой $L$. Этот треугольник является равнобедренным, а угол при вершине (в центре круга) равен $60^\circ$. Углы при основании такого треугольника равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Таким образом, этот треугольник является равносторонним, и все его стороны равны.

Отсюда следует, что длина хорды равна радиусу первого круга:

$L = R_1$

Для второго круга:

Во втором круге хорда $L$ видна из центра под углом $120^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами $R_2$ и хордой $L$. Длину хорды можно найти по теореме косинусов:

$L^2 = R_2^2 + R_2^2 - 2 \cdot R_2 \cdot R_2 \cdot \cos(120^\circ)$

Зная, что $\cos(120^\circ) = -1/2$, подставим значение в формулу:

$L^2 = 2R_2^2 - 2R_2^2 \cdot (-\frac{1}{2})$

$L^2 = 2R_2^2 + R_2^2 = 3R_2^2$

Следовательно, $L = \sqrt{3R_2^2} = R_2\sqrt{3}$.

Нахождение отношения площадей:

Мы получили два выражения для длины одной и той же хорды $L$: $L = R_1$ и $L = R_2\sqrt{3}$. Приравняем их:

$R_1 = R_2\sqrt{3}$

Теперь найдем отношение радиусов:

$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{3}$

Наконец, найдем искомое отношение площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{R_1}{R_2})^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$

Таким образом, отношение площади первого круга к площади второго круга равно 3.

Ответ: 3.