Номер 109, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на средней по длине стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

109. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на средней по длине стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

Пусть дан треугольник со сторонами 13 см, 20 см и 21 см. Средней по длине является сторона 20 см. Обозначим вершины треугольника как A, B, C, так что сторона, на которой лежит центр полукруга, — это AC = 20 см. Тогда две другие стороны, например, $AB = 13$ см и $BC = 21$ см.

По условию, в треугольник вписан полукруг, центр которого O лежит на стороне AC. Это означает, что диаметр полукруга лежит на стороне AC, а дуга полукруга касается двух других сторон, AB и BC.

Поскольку полукруг касается сторон AB и BC, то его центр O равноудален от этих сторон. Расстояние от центра O до касательных (сторон AB и BC) равно радиусу полукруга $r$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является биссектрисой угла между ними. Следовательно, центр полукруга O должен лежать на биссектрисе угла B.

Таким образом, точка O является точкой пересечения биссектрисы угла B со стороной AC. Радиус полукруга $r$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на стороны AB и BC.

Для нахождения радиуса $r$ воспользуемся методом площадей. Площадь всего треугольника ABC можно найти по формуле Герона. Сначала найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 21 + 20}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S_{ABC}$:
$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$
$S_{ABC} = \sqrt{27(27-13)(27-21)(27-20)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 7}$
$S_{ABC} = \sqrt{(3^3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7} = \sqrt{3^4 \cdot 2^2 \cdot 7^2} = 3^2 \cdot 2 \cdot 7 = 9 \cdot 14 = 126$ см².

Площадь треугольника ABC также можно представить как сумму площадей треугольников ABO и CBO (поскольку точка O лежит на стороне AC). Высоты этих треугольников, опущенные из вершины O на стороны AB и BC соответственно, равны радиусу полукруга $r$.
$S_{ABC} = S_{ABO} + S_{CBO}$
$S_{ABO} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot r$
$S_{CBO} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot r$

Подставим эти выражения и найденное значение площади в формулу:
$126 = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot r + \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot r$
$126 = \frac{1}{2}r(13 + 21)$
$126 = \frac{1}{2}r \cdot 34$
$126 = 17r$
Отсюда находим радиус $r$:
$r = \frac{126}{17}$ см.

Теперь, зная радиус, мы можем найти площадь полукруга $S_{полукруга}$ по формуле:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2$
$S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi \left(\frac{126}{17}\right)^2 = \frac{1}{2}\pi \frac{126^2}{17^2} = \frac{1}{2}\pi \frac{15876}{289} = \frac{7938\pi}{289}$ см².

Ответ: $\frac{7938\pi}{289}$ см².