Номер 106, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Постройте окружность, длина которой равна сумме длин трёх данных окружностей.

106. Постройте окружность, длина которой равна сумме длин трёх данных окружностей.

Пусть нам даны три окружности с радиусами $r_1$, $r_2$ и $r_3$. Длина окружности с радиусом $r$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Следовательно, длины данных окружностей равны $C_1 = 2\pi r_1$, $C_2 = 2\pi r_2$ и $C_3 = 2\pi r_3$.

Требуется построить новую окружность с радиусом $R$ и длиной $C$, для которой выполняется условие, что ее длина равна сумме длин трех данных окружностей:

$C = C_1 + C_2 + C_3$

Подставим формулы длин окружностей в это равенство:

$2\pi R = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 + 2\pi r_3$

Разделив обе части уравнения на $2\pi$, мы получаем соотношение для радиусов:

$R = r_1 + r_2 + r_3$

Таким образом, задача сводится к построению окружности, радиус которой равен сумме радиусов трех данных окружностей. Для этого необходимо с помощью циркуля и линейки выполнить следующие шаги построения:

1. Провести произвольный луч с началом в точке $O$.

2. С помощью циркуля измерить радиус $r_1$ первой окружности.

3. Отложить на луче от точки $O$ отрезок $OA$, равный $r_1$.

4. С помощью циркуля измерить радиус $r_2$ второй окружности.

5. Отложить на луче от точки $A$ отрезок $AB$, равный $r_2$, так, чтобы точка $A$ лежала между $O$ и $B$.

6. С помощью циркуля измерить радиус $r_3$ третьей окружности.

7. Отложить на луче от точки $B$ отрезок $BC$, равный $r_3$, так, чтобы точка $B$ лежала между $A$ и $C$.

8. Полученный отрезок $OC$ имеет длину $R = r_1 + r_2 + r_3$ и является радиусом искомой окружности.

9. Выбрать на плоскости произвольную точку $O_{new}$ в качестве центра новой окружности.

10. Установить раствор циркуля равным длине отрезка $OC$ (радиусу $R$).

11. Поставить ножку циркуля в точку $O_{new}$ и построить окружность.

Построенная окружность является искомой, так как ее длина $C = 2\pi R = 2\pi (r_1 + r_2 + r_3)$ равна сумме длин данных окружностей $C_1 + C_2 + C_3$.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо построить окружность, радиус которой равен сумме радиусов трех данных окружностей. Это делается путем последовательного откладывания отрезков, равных радиусам данных окружностей, на одной прямой для получения суммарного радиуса, а затем построения окружности с этим радиусом.