Номер 103, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, основание которого равно 10 см, а боковая сторона — 13 см.

103. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, основание которого равно 10 см, а боковая сторона — 13 см.

Для нахождения площади круга, вписанного в треугольник, используется формула $S_{круга} = \pi r^2$, где $r$ – это радиус вписанной окружности.

Чтобы найти радиус вписанной окружности, воспользуемся формулой $r = \frac{S_{тр}}{p}$, где $S_{тр}$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

1. Сначала вычислим полупериметр $p$ равнобедренного треугольника.Дано: основание $a = 10$ см, боковые стороны $b = c = 13$ см.Периметр $P = a + b + c = 10 + 13 + 13 = 36$ см.Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

2. Теперь найдем площадь треугольника $S_{тр}$.Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $\frac{10}{2} = 5$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза, 13 см), высотой $h$ (катет) и половиной основания (катет, 5 см). По теореме Пифагора найдем высоту:$h^2 + 5^2 = 13^2$$h^2 + 25 = 169$$h^2 = 169 - 25 = 144$$h = \sqrt{144} = 12$ см.Теперь можем вычислить площадь треугольника:$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ см$^2$.

3. Теперь вычислим радиус вписанной окружности:$r = \frac{S_{тр}}{p} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3}$ см.

4. Наконец, найдем площадь вписанного круга:$S_{круга} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \pi \cdot \frac{100}{9} = \frac{100\pi}{9}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{100\pi}{9}$ см$^2$.