Номер 102, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с боковой стороной 4 см и углом $30^\circ$ при основании.

102. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с боковой стороной 4 см и углом $30^\circ$ при основании.

Чтобы найти площадь круга, описанного около треугольника, нужно сначала определить его радиус $R$. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Дан равнобедренный треугольник. Пусть его боковые стороны равны $a = 4$ см, а углы при основании равны $\alpha = 30^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, значит, у нас есть два угла по $30^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол $\beta$ при вершине, противолежащей основанию: $\beta = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Радиус $R$ окружности, описанной около треугольника, можно найти по теореме синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Отсюда $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$.

В нашем случае $a$ – это боковая сторона, равная 4 см, а $\alpha$ – это противолежащий ей угол при основании, равный $30^\circ$. Подставим эти значения в формулу: $R = \frac{4}{2 \sin 30^\circ}$

Мы знаем, что значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Тогда: $R = \frac{4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{4}{1} = 4$ см.

Теперь, зная радиус, можем вычислить площадь круга: $S = \pi R^2 = \pi \cdot (4)^2 = 16\pi$ см².

Ответ: $16\pi$ см².