Номер 107, страница 14 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. В полукруг вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а катеты равны 8 см и $8\sqrt{3}$ см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

107. В полукруг вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а катеты равны 8 см и $8\sqrt{3}$ см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

Искомая площадь равна разности площади полукруга и площади вписанного в него прямоугольного треугольника.

1. Вычисление площади прямоугольного треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника ($S_{тр}$) равна половине произведения его катетов. По условию, катеты равны $a = 8$ см и $b = 8\sqrt{3}$ см.
$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8\sqrt{3} = 4 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см².

2. Вычисление площади полукруга.
Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, является ее диаметром. В данном случае гипотенуза ($c$) совпадает с диаметром ($d$) полукруга. Найдем гипотенузу по теореме Пифагора:
$c^2 = a^2 + b^2$
$c^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 = 64 + 64 \cdot 3 = 64 + 192 = 256$
$c = \sqrt{256} = 16$ см.
Таким образом, диаметр полукруга $d = 16$ см, а его радиус $R = \frac{d}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
Площадь полукруга ($S_{пк}$) вычисляется по формуле $S_{пк} = \frac{1}{2}\pi R^2$.
$S_{пк} = \frac{1}{2}\pi \cdot 8^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 64 = 32\pi$ см².

3. Вычисление площади искомой части полукруга.
Площадь части полукруга, расположенной вне треугольника, равна разности площади полукруга и площади треугольника:
$S = S_{пк} - S_{тр} = 32\pi - 32\sqrt{3}$ см².
Вынесем общий множитель за скобки для более компактной записи:
$S = 32(\pi - \sqrt{3})$ см².

Ответ: $32(\pi - \sqrt{3})$ см².