Номер 105, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Площадь круга, вписанного в равнобокую трапецию, равна $12\pi \text{ см}^2$, а угол трапеции равен $60^\circ$. Найдите площадь трапеции.

105. Площадь круга, вписанного в равнобокую трапецию, равна $12\pi$ см$^2$, а угол трапеции равен $60^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга. По условию, площадь круга равна $12\pi$ см².

Приравняем и найдем радиус:
$\pi r^2 = 12\pi$
$r^2 = 12$
$r = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Если в трапецию вписан круг, то ее высота $h$ равна диаметру этого круга:
$h = 2r = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим равнобокую трапецию. Опустим высоту из вершины тупого угла на большее основание. Получим прямоугольный треугольник, у которого один из углов равен острому углу трапеции (60°), противолежащий этому углу катет является высотой трапеции $h$, а гипотенуза – боковой стороной трапеции $c$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике:
$\sin(60°) = \frac{h}{c}$
Отсюда найдем боковую сторону $c$:
$c = \frac{h}{\sin(60°)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$ см.

Для четырехугольника, в который можно вписать окружность, справедливо свойство: суммы длин противоположных сторон равны. Для нашей равнобокой трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$:
$a + b = c + c = 2c$
$a + b = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{трапеции} = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Подставим известные значения:
$S_{трапеции} = \frac{16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 8 \cdot 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ см².

Ответ: $32\sqrt{3}$ см².