Номер 104, страница 13 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площади описанного около него и вписанного в него кругов.

104. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площади описанного около него и вписанного в него кругов.

Для нахождения площадей вписанного и описанного кругов нам понадобятся их радиусы. Радиусы, в свою очередь, связаны с площадью и сторонами самого треугольника. Пусть стороны треугольника $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см.

1. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.

Вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $S$:

$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 7 \cdot 2^2 = 84$ см$^2$.

Площадь вписанного круга

Радиус вписанного круга $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$.

$r = \frac{84}{21} = 4$ см.

Площадь вписанного круга $S_{впис}$ вычисляется по формуле $S_{впис} = \pi r^2$.

$S_{впис} = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$ см$^2$.

Ответ: $16\pi$ см$^2$.

Площадь описанного круга

Радиус описанного круга $R$ можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$.

$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336}$.

Сократим дробь, разложив числа на множители:

$R = \frac{13 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5)}{4 \cdot (12 \cdot 7)} = \frac{13 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5}{4 \cdot (3 \cdot 4) \cdot 7} = \frac{13 \cdot 2 \cdot 5}{4 \cdot 4} = \frac{13 \cdot 5}{8} = \frac{65}{8}$ см.

Площадь описанного круга $S_{опис}$ вычисляется по формуле $S_{опис} = \pi R^2$.

$S_{опис} = \pi \cdot (\frac{65}{8})^2 = \pi \cdot \frac{4225}{64} = \frac{4225\pi}{64}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{4225\pi}{64}$ см$^2$.