Номер 177, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

177. В прямоугольнике $ABCD$

$AB = 5$ см, $BD = 13$ см, $O$ —

точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\overrightarrow{CD}|$;

2) $|\overrightarrow{AO}|$; 3) $|\overrightarrow{BC}|.$

177. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 5$ см, $BD = 13$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $\left| \overrightarrow{CD} \right|$;

2) $\left| \overrightarrow{AO} \right|$;

3) $\left| \overrightarrow{BC} \right|$.

1) Дано, что $ABCD$ — прямоугольник. В прямоугольнике противоположные стороны равны по длине. Сторона $CD$ противоположна стороне $AB$. Следовательно, их длины равны. По условию задачи $AB = 5$ см. Таким образом, $|\overrightarrow{CD}| = AB = 5$ см.
Ответ: 5 см.

2) В прямоугольнике диагонали равны между собой и в точке пересечения делятся пополам. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что $AC = BD$ и $AO = OC = BO = OD$. По условию, длина диагонали $BD = 13$ см. Следовательно, длина отрезка $AO$ составляет половину длины диагонали $BD$. $|\overrightarrow{AO}| = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5$ см.
Ответ: 6,5 см.

3) Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то все его углы прямые, в частности $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle BCD$ — прямоугольный треугольник, где $BC$ и $CD$ — катеты, а $BD$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $BC^2 + CD^2 = BD^2$. Нам известны длины гипотенузы $BD = 13$ см и катета $CD = 5$ см (из пункта 1). Подставим эти значения в уравнение: $|\overrightarrow{BC}|^2 + 5^2 = 13^2$. Вычислим: $|\overrightarrow{BC}|^2 + 25 = 169$. Отсюда $|\overrightarrow{BC}|^2 = 169 - 25 = 144$. Найдем длину $BC$, извлекая квадратный корень: $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: 12 см.