Номер 183, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

183. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (3; -2)$, $B (-4; 1)$, $C (-2; -3)$. Найдите координаты вершины $D$.

183. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $\text{ABCD}$: $\text{A} (3; -2)$, $\text{B} (-4; 1)$, $\text{C} (-2; -3)$. Найдите координаты вершины $\text{D}$.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма $D(x; y)$ можно воспользоваться одним из свойств параллелограмма. Поскольку в названии параллелограмма $ABCD$ вершины, как правило, перечисляются последовательно, мы можем применить два основных метода.

Способ 1: Использование векторов

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, вектор $\vec{AD}$ должен быть равен вектору $\vec{BC}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Дано: $B(-4; 1)$ и $C(-2; -3)$.

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-2 - (-4); -3 - 1) = (2; -4)$

2. Запишем координаты вектора $\vec{AD}$, используя координаты точки $A(3; -2)$ и неизвестные координаты точки $D(x; y)$.

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (x - 3; y - (-2)) = (x - 3; y + 2)$

3. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, их соответствующие координаты должны быть равны. Приравниваем их и решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3 = 2 \\ y + 2 = -4\end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$: $x = 2 + 3 = 5$.

Из второго уравнения находим $y$: $y = -4 - 2 = -6$.

Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(5; -6)$.

Способ 2: Использование свойства диагоналей

Диагонали параллелограмма $ABCD$ (отрезки $AC$ и $BD$) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что середины диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают.

1. Найдем координаты середины диагонали $AC$, обозначим ее точкой $O$. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов.

Дано: $A(3; -2)$ и $C(-2; -3)$.

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-2 + (-3)}{2} = -\frac{5}{2}$

Таким образом, точка $O$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{5}{2})$.

2. Точка $O$ также является серединой диагонали $BD$. Запишем формулы для координат середины отрезка $BD$, используя известные координаты точки $B(-4; 1)$ и искомой точки $D(x; y)$.

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{-4 + x}{2}$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{1 + y}{2}$

3. Приравняем координаты середины, найденные в шагах 1 и 2, и решим полученные уравнения:

$\frac{-4 + x}{2} = \frac{1}{2} \implies -4 + x = 1 \implies x = 5$

$\frac{1 + y}{2} = -\frac{5}{2} \implies 1 + y = -5 \implies y = -6$

Оба способа дали одинаковый результат.

Ответ: $D(5; -6)$.