Номер 182, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (3; -4), B (-2; 7), C (-4; 16) и D (1; 5) является параллелограммом.

182. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -4)$, $B (-2; 7)$, $C (-4; 16)$ и $D (1; 5)$ является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, можно использовать один из его признаков. Например, четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Другой признак: четырехугольник является параллелограммом, если две его противолежащие стороны равны и параллельны. Проверим этот признак с помощью векторов.

Даны координаты вершин: $A(3; -4)$, $B(-2; 7)$, $C(-4; 16)$ и $D(1; 5)$.

Условие равенства и параллельности сторон AB и DC эквивалентно равенству векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Нахождение координат векторов противолежащих сторон

Координаты вектора, соединяющего точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляются как $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Для стороны AB найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-2 - 3; 7 - (-4)) = (-5; 11)$

Для стороны DC найдем координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (-4 - 1; 16 - 5) = (-5; 11)$

Сравнение векторов и вывод

Поскольку координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ совпадают, то векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов означает, что они коллинеарны (а значит, соответствующие отрезки AB и DC параллельны) и их длины равны. Таким образом, противолежащие стороны AB и DC четырехугольника ABCD равны и параллельны.

По признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны), четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.