Номер 175, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

175. Какие из векторов, изображённых на рисунке 10:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны;

5) имеют равные модули?

Рис. 10

$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{c}$$\vec{d}$$\vec{e}$$\vec{f}$$\vec{m}$$\vec{n}$$\vec{k}$$\vec{s}$$\vec{x}$$\vec{q}$

175. Какие из векторов, изображённых на рисунке 10:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны;

5) имеют равные модули?

Рис. 10

Векторы, изображенные на рисунке:

$ \vec{a} $

$ \vec{b} $

$ \vec{c} $

$ \vec{d} $

$ \vec{e} $

$ \vec{f} $

$ \vec{m} $

$ \vec{k} $

$ \vec{n} $

$ \vec{s} $

$ \vec{x} $

$ \vec{q} $

Для решения задачи определим координаты каждого вектора, принимая за единицу длины сторону одной клетки координатной сетки. Начало каждого вектора мысленно поместим в начало координат. Тогда конец вектора будет иметь следующие координаты:

• $\vec{a} = (2; 2)$
• $\vec{b} = (2; -2)$
• $\vec{c} = (2; 2)$
• $\vec{d} = (2; 0)$
• $\vec{e} = (2; 0)$
• $\vec{f} = (2; 0)$
• $\vec{m} = (-2; 0)$
• $\vec{n} = (3; 0)$
• $\vec{k} = (-3; 0)$
• $\vec{s} = (1; -2)$
• $\vec{x} = (2; 2)$
• $\vec{q} = (1; 2)$

1) равны

Равные векторы — это векторы, которые сонаправлены и имеют одинаковую длину (модуль). Это означает, что их соответствующие координаты должны быть равны. Сравнивая координаты векторов, находим группы равных векторов:

• $\vec{a} = (2; 2)$, $\vec{c} = (2; 2)$, $\vec{x} = (2; 2)$. Таким образом, $\vec{a} = \vec{c} = \vec{x}$.
• $\vec{d} = (2; 0)$, $\vec{e} = (2; 0)$, $\vec{f} = (2; 0)$. Таким образом, $\vec{d} = \vec{e} = \vec{f}$.

Ответ: $\vec{a}$, $\vec{c}$ и $\vec{x}$; $\vec{d}$, $\vec{e}$ и $\vec{f}$.

2) сонаправлены

Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, указывающие в одном направлении. Координаты одного такого вектора можно получить из координат другого умножением на положительное число.

• Векторы $\vec{a}=(2;2)$, $\vec{c}=(2;2)$ и $\vec{x}=(2;2)$ равны, следовательно, они сонаправлены.
• Векторы $\vec{d}=(2;0)$, $\vec{e}=(2;0)$, $\vec{f}=(2;0)$ и $\vec{n}=(3;0)$ направлены вдоль положительного направления оси абсцисс, поэтому они все сонаправлены.
• Векторы $\vec{m}=(-2;0)$ и $\vec{k}=(-3;0)$ направлены вдоль отрицательного направления оси абсцисс, поэтому они сонаправлены друг с другом.

Ответ: $\vec{a}, \vec{c}, \vec{x}$; $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{n}$; $\vec{m}, \vec{k}$.

3) противоположно направлены

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, указывающие в противоположных направлениях. Координаты одного такого вектора можно получить из координат другого умножением на отрицательное число.

• Группа векторов $\{\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{n}\}$ направлена вправо (положительное направление оси Ох).
• Группа векторов $\{\vec{m}, \vec{k}\}$ направлена влево (отрицательное направление оси Ох).

Следовательно, любой вектор из первой группы будет противоположно направлен любому вектору из второй группы. Например, $\vec{m} = -1 \cdot \vec{d}$. Ответ: векторы из группы $\{\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{n}\}$ противоположно направлены векторам из группы $\{\vec{m}, \vec{k}\}$.

4) коллинеарны

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть сонаправлены или противоположно направлены.

• Векторы $\vec{a}$, $\vec{c}$, $\vec{x}$ сонаправлены, а значит и коллинеарны.
• Все горизонтальные векторы $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{n}, \vec{m}, \vec{k}$ лежат на параллельных прямых, следовательно, они коллинеарны между собой.

Ответ: $\vec{a}, \vec{c}, \vec{x}$; $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{m}, \vec{n}, \vec{k}$.

5) имеют равные модули

Модуль (длина) вектора $\vec{v}=(v_x; v_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Вычислим модули всех векторов:

• $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$
• $|\vec{e}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$
• $|\vec{f}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$
• $|\vec{m}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$
• $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$
• $|\vec{k}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3$
• $|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$
• $|\vec{x}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $|\vec{q}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

Группируем векторы с равными модулями:

• Длина $2\sqrt{2}$: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{x}$
• Длина $2$: $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{m}$
• Длина $3$: $\vec{n}, \vec{k}$
• Длина $\sqrt{5}$: $\vec{s}, \vec{q}$

Ответ: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{x}$ (модуль равен $2\sqrt{2}$); $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{m}$ (модуль равен $2$); $\vec{n}, \vec{k}$ (модуль равен $3$); $\vec{s}, \vec{q}$ (модуль равен $\sqrt{5}$).