Номер 187, страница 22 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Модуль вектора $\vec{m}(x; y)$ равен $\sqrt{5}$, а координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 1. Найдите координаты вектора $\vec{m}$.

187. Модуль вектора $\vec{m}(x; y)$ равен $\sqrt{5}$, а координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 1. Найдите координаты вектора $\vec{m}$.

Пусть искомый вектор $\vec{m}$ имеет координаты $(x; y)$.

Модуль (длина) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. По условию задачи, модуль вектора $\vec{m}$ равен $\sqrt{5}$. Составим первое уравнение: $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5}$

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 + y^2 = 5$

Также по условию известно, что координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 1. Это дает нам второе уравнение: $x = y + 1$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x = y + 1 \end{cases} $

Для решения этой системы подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое: $(y + 1)^2 + y^2 = 5$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 5$
$2y^2 + 2y + 1 - 5 = 0$
$2y^2 + 2y - 4 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2: $y^2 + y - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-2$.
$y_1 = 1$
$y_2 = -2$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя уравнение $x = y + 1$:

1. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.
Таким образом, первая пара координат вектора: $(2; 1)$.

2. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 1 = -1$.
Таким образом, вторая пара координат вектора: $(-1; -2)$.

Задача имеет два решения.

Ответ: $(2; 1)$ или $(-1; -2)$.