Номер 192, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

192. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC}$;

2) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD}$;

3) $\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BD} - \vec{DC}$.

192. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC};$

2) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD};$

3) $\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BD} - \vec{DC}.$

1) $\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC}$
Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, его противоположные стороны задают равные векторы: $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Подставим это равенство в исходное выражение:
$\vec{AB} - \vec{DC} + \vec{BC} = \vec{AB} - \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{0} + \vec{BC} = \vec{BC}$.
Ответ: $\vec{BC}$

2) $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{AD}$
Сгруппируем слагаемые в выражении следующим образом: $(\vec{AB} + \vec{AD}) - \vec{AC}$.
Для векторов, выходящих из одной вершины параллелограмма, справедливо правило сложения (правило параллелограмма): $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Подставим полученное равенство в наше выражение:
$(\vec{AB} + \vec{AD}) - \vec{AC} = \vec{AC} - \vec{AC} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$

3) $\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BD} - \vec{DC}$
Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{DC} = \vec{AB}$. Заменим вектор $\vec{DC}$ в выражении:
$\vec{AD} + \vec{AB} - \vec{BD} - \vec{AB} = \vec{AD} - \vec{BD} + (\vec{AB} - \vec{AB}) = \vec{AD} - \vec{BD}$.
Теперь представим вычитание векторов как сложение с противоположным вектором: $\vec{AD} - \vec{BD} = \vec{AD} + (-\vec{BD}) = \vec{AD} + \vec{DB}$.
По правилу треугольника (правилу Шаля) для сложения векторов имеем:
$\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$.
Ответ: $\vec{AB}$