Номер 199, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Найдите геометрическое место точек C $(x; y)$ координатной плоскости таких, что для точек A $(-3; 2)$ и B $(1; 5)$ выполняется равенство $|\vec{BC}| = |\vec{AB}|$.

199. Найдите геометрическое место точек C (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (-3; 2) и B (1; 5) выполняется равенство $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AB}|$.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих заданному условию. В данном случае условие — это равенство $|\vec{BC}| = |\vec{AB}|$. Это означает, что расстояние от точки B до искомой точки C должно быть равно расстоянию от точки A до точки B.

Даны точки $A(-3; 2)$ и $B(1; 5)$. Точка C имеет координаты $(x; y)$.

1. Найдем расстояние между точками A и B. Это расстояние равно модулю (длине) вектора $\vec{AB}$. Формула для расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + 3^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Таким образом, расстояние между A и B постоянно и равно 5.

2. Теперь найдем расстояние между точками B и C. Это расстояние равно модулю вектора $\vec{BC}$.

$|\vec{BC}| = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 5)^2}$.

3. Согласно условию задачи, приравняем найденные расстояния: $|\vec{BC}| = |\vec{AB}|$.

$\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 5)^2} = 5$.

4. Чтобы получить уравнение искомого ГМТ, возведем обе части равенства в квадрат:

$(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 5)^2})^2 = 5^2$

$(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 25$.

Это каноническое уравнение окружности вида $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

В нашем случае центр окружности находится в точке $(1; 5)$, что совпадает с координатами точки B, а радиус $R = \sqrt{25} = 5$, что равно расстоянию между точками A и B.

Следовательно, искомое геометрическое место точек C — это окружность с центром в точке B и радиусом, равным длине отрезка AB.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в точке $B(1; 5)$ и радиусом $R=5$. Уравнение этой окружности: $(x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 25$.