Номер 196, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

196. Найдите координаты векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если их сумма имеет координаты $(5; -2)$, а разность — $(7; 5)$.

196. Найдите координаты векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если их сумма имеет координаты $(5; -2)$, а разность — $(7; 5)$.

Обозначим координаты искомых векторов как $\vec{m} = (x_1; y_1)$ и $\vec{n} = (x_2; y_2)$.

По условию задачи, сумма векторов $\vec{m} + \vec{n}$ имеет координаты $(5; -2)$, а их разность $\vec{m} - \vec{n}$ имеет координаты $(7; 5)$. Запишем это в виде системы векторных уравнений:

$\begin{cases} \vec{m} + \vec{n} = (5; -2) \\ \vec{m} - \vec{n} = (7; 5) \end{cases}$

Эта система эквивалентна двум независимым системам уравнений для соответствующих координат:

Для координат по оси X: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 - x_2 = 7 \end{cases}$

Для координат по оси Y: $\begin{cases} y_1 + y_2 = -2 \\ y_1 - y_2 = 5 \end{cases}$

Решим первую систему. Сложим два уравнения:

$(x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 5 + 7$

$2x_1 = 12$

$x_1 = 6$

Подставим $x_1 = 6$ в первое уравнение: $6 + x_2 = 5$, откуда $x_2 = -1$.

Теперь решим вторую систему. Сложим два уравнения:

$(y_1 + y_2) + (y_1 - y_2) = -2 + 5$

$2y_1 = 3$

$y_1 = 1.5$

Подставим $y_1 = 1.5$ в первое уравнение: $1.5 + y_2 = -2$, откуда $y_2 = -2 - 1.5 = -3.5$.

Таким образом, координаты векторов: $\vec{m} = (6; 1.5)$ и $\vec{n} = (-1; -3.5)$.

Альтернативное решение (векторным методом):

Сложим два векторных уравнения из исходной системы:

$(\vec{m} + \vec{n}) + (\vec{m} - \vec{n}) = (5; -2) + (7; 5)$

$2\vec{m} = (5+7; -2+5) = (12; 3)$

$\vec{m} = (\frac{12}{2}; \frac{3}{2}) = (6; 1.5)$

Теперь вычтем второе векторное уравнение из первого:

$(\vec{m} + \vec{n}) - (\vec{m} - \vec{n}) = (5; -2) - (7; 5)$

$2\vec{n} = (5-7; -2-5) = (-2; -7)$

$\vec{n} = (\frac{-2}{2}; \frac{-7}{2}) = (-1; -3.5)$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: Координаты вектора $\vec{m}$ равны $(6; 1.5)$, а координаты вектора $\vec{n}$ равны $(-1; -3.5)$.