Номер 201, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Постройте два неколлинеарных вектора $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $ 3\vec{m} - 2\vec{n} $;

2) $ \frac{1}{4}\vec{m} + \frac{2}{5}\vec{n} $.

201. Постройте два неколлинеарных вектора $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $3\vec{m} - 2\vec{n}$;

2) $\frac{1}{4}\vec{m} + \frac{2}{5}\vec{n}$.

Для решения задачи сначала построим два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Неколлинеарные векторы — это векторы, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Затем выберем произвольную точку $O$, которая будет служить началом для построения искомых векторов.

1) $3\vec{m} - 2\vec{n}$
Чтобы построить вектор $\vec{c} = 3\vec{m} - 2\vec{n}$, необходимо выполнить следующие действия:
1. От произвольной точки $O$ отложить вектор $\vec{OA}$, который сонаправлен вектору $\vec{m}$ и имеет длину в 3 раза большую, чем у вектора $\vec{m}$. Таким образом, $\vec{OA} = 3\vec{m}$.
2. Далее необходимо построить вектор $-2\vec{n}$. Этот вектор противоположен по направлению вектору $\vec{n}$ и его длина в 2 раза больше длины вектора $\vec{n}$.
3. Для нахождения искомого вектора воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Для этого от конца вектора $\vec{OA}$ (то есть от точки $A$) отложим вектор $\vec{AB}$, равный вектору $-2\vec{n}$.
4. Вектор $\vec{OB}$, соединяющий начало первого вектора (точка $O$) с концом второго вектора (точка $B$), и будет являться искомым вектором: $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = 3\vec{m} - 2\vec{n}$.
Ответ: Искомый вектор является замыкающей стороной треугольника, построенного на последовательно отложенных векторах $3\vec{m}$ и $-2\vec{n}$.

2) $\frac{1}{4}\vec{m} + \frac{2}{5}\vec{n}$
Чтобы построить вектор $\vec{d} = \frac{1}{4}\vec{m} + \frac{2}{5}\vec{n}$, выполним следующие действия:
1. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OC}$, который сонаправлен вектору $\vec{m}$ и имеет длину, равную $\frac{1}{4}$ длины вектора $\vec{m}$. Таким образом, $\vec{OC} = \frac{1}{4}\vec{m}$. Геометрически для этого нужно разделить вектор $\vec{m}$ на четыре равные части.
2. Построим вектор, равный $\frac{2}{5}\vec{n}$. Этот вектор сонаправлен вектору $\vec{n}$, а его длина составляет $\frac{2}{5}$ длины вектора $\vec{n}$. Геометрически для этого нужно разделить вектор $\vec{n}$ на пять равных частей и взять две такие части.
3. Для нахождения суммы векторов воспользуемся правилом треугольника. От конца вектора $\vec{OC}$ (то есть от точки $C$) отложим вектор $\vec{CD}$, равный вектору $\frac{2}{5}\vec{n}$.
4. Вектор $\vec{OD}$, соединяющий начало первого вектора (точка $O$) с концом второго вектора (точка $D$), и будет являться искомым вектором: $\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{CD} = \frac{1}{4}\vec{m} + \frac{2}{5}\vec{n}$.
Ответ: Искомый вектор является замыкающей стороной треугольника, построенного на последовательно отложенных векторах $\frac{1}{4}\vec{m}$ и $\frac{2}{5}\vec{n}$.