Номер 207, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Точки K и P — середины сторон AB и BC трапеции ABCD (рис. 17). Выразите вектор $ \vec{KP} $ через векторы $ \vec{AD} = \vec{a} $ и $ \vec{CD} = \vec{b} $.

207. Точки K и P — середины сторон AB и BC трапеции ABCD (рис. 17). Выразите вектор $\vec{KP}$ через векторы $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{b}$.

Рис. 17

Для того чтобы выразить вектор $\vec{KP}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, мы можем представить вектор $\vec{KP}$ как сумму векторов, идущих по сторонам трапеции. Один из способов — использовать правило треугольника для векторов.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $K$ — середина стороны $AB$, а точка $P$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $KP$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, выраженному в векторах, вектор, соединяющий середины двух сторон треугольника, равен половине вектора третьей стороны. Таким образом, мы можем записать:

$\vec{KP} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Теперь нам нужно выразить вектор $\vec{AC}$ через заданные векторы $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{b}$. Для этого рассмотрим треугольник $ADC$. По правилу сложения векторов (правило треугольника):

$\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}$

По условию, $\vec{AD} = \vec{a}$. Вектор $\vec{DC}$ является противоположным вектору $\vec{CD}$, поэтому $\vec{DC} = -\vec{CD}$. Так как по условию $\vec{CD} = \vec{b}$, то:

$\vec{DC} = -\vec{b}$

Подставим полученные выражения для векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$ в формулу для $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$

Наконец, подставим найденное выражение для вектора $\vec{AC}$ в формулу для вектора $\vec{KP}$:

$\vec{KP} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

Ответ: $\vec{KP} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$