Номер 211, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

211. Коллинеарны ли векторы $ \vec{MN} $ и $ \vec{KP} $, если $ M (3; -2) $, $ N (-7; 4) $, $ K (6; -3) $, $ P (1; 0)? $

211. Коллинеарны ли векторы $\vec{MN}$ и $\vec{KP}$, если $M (3; -2)$, $N (-7; 4)$, $K (6; -3)$, $P (1; 0)$?

Для того чтобы определить, являются ли векторы коллинеарными, необходимо найти их координаты и проверить, пропорциональны ли они. Два вектора $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $x_1 = k \cdot x_2$ и $y_1 = k \cdot y_2$.

1. Найдём координаты вектора $\vec{MN}$

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Для вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(3; -2)$ и концом в точке $N(-7; 4)$ координаты будут следующими:

$\vec{MN} = \{x_N - x_M; y_N - y_M\} = \{-7 - 3; 4 - (-2)\} = \{-10; 6\}$

2. Найдём координаты вектора $\vec{KP}$

Аналогично для вектора $\vec{KP}$ с началом в точке $K(6; -3)$ и концом в точке $P(1; 0)$:

$\vec{KP} = \{x_P - x_K; y_P - y_K\} = \{1 - 6; 0 - (-3)\} = \{-5; 3\}$

3. Проверим пропорциональность координат

Теперь проверим, пропорциональны ли координаты векторов $\vec{MN}\{-10; 6\}$ и $\vec{KP}\{-5; 3\}$. Для этого найдём отношение их соответствующих координат:

Отношение первых координат: $\frac{-10}{-5} = 2$

Отношение вторых координат: $\frac{6}{3} = 2$

Поскольку отношения координат равны ($2=2$), это означает, что координаты векторов пропорциональны с коэффициентом $k=2$. Следовательно, векторы коллинеарны, и выполняется равенство $\vec{MN} = 2 \cdot \vec{KP}$.

Ответ: Да, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{KP}$ коллинеарны.