Номер 218, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Лежат ли точки $A (4; 2)$, $B (5; 6)$ и $C (7; 14)$ на одной прямой?

218. Лежат ли точки $A(4; 2)$, $B(5; 6)$ и $C(7; 14)$ на одной прямой?

Чтобы определить, лежат ли точки A(4; 2), B(5; 6) и C(7; 14) на одной прямой, можно воспользоваться одним из следующих способов.

Сначала найдём уравнение прямой, проходящей через две из трёх точек, например, через точки A(4; 2) и B(5; 6). Уравнение прямой в общем виде выглядит так: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — смещение по оси y.

Подставим координаты точек A и B в уравнение прямой, чтобы получить систему уравнений:

$\begin{cases} 2 = k \cdot 4 + b \\ 6 = k \cdot 5 + b \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $k$:

$(5k + b) - (4k + b) = 6 - 2$

$k = 4$

Теперь подставим найденное значение $k$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$2 = 4 \cdot 4 + b$

$2 = 16 + b$

$b = 2 - 16 = -14$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид: $y = 4x - 14$.

Теперь проверим, принадлежит ли точка C(7; 14) этой прямой. Для этого подставим её координаты в полученное уравнение:

$14 = 4 \cdot 7 - 14$

$14 = 28 - 14$

$14 = 14$

Равенство верное, следовательно, точка C лежит на той же прямой, что и точки A и B.

Ответ: Да, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Если три точки лежат на одной прямой, то угловые коэффициенты отрезков, образованных этими точками, должны быть равны. Угловой коэффициент $k$ отрезка, соединяющего точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдём угловой коэффициент отрезка AB, где A(4; 2) и B(5; 6):

$k_{AB} = \frac{6 - 2}{5 - 4} = \frac{4}{1} = 4$

Найдём угловой коэффициент отрезка BC, где B(5; 6) и C(7; 14):

$k_{BC} = \frac{14 - 6}{7 - 5} = \frac{8}{2} = 4$

Так как угловые коэффициенты $k_{AB}$ и $k_{BC}$ равны ($k_{AB} = k_{BC} = 4$) и у них есть общая точка B, все три точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Да, точки A, B и C лежат на одной прямой.