Номер 219, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ($BC \parallel AD$), $BC = 3$, $AD = 7$. Найдите такое число $x$, что:

1) $\vec{OC} = x \cdot \vec{AC}$;

2) $\vec{OB} = x \cdot \vec{OD}$.

219. O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ($BC \parallel AD$), $BC = 3$, $AD = 7$. Найдите такое число $x$, что:

1) $\vec{OC} = x \cdot \vec{AC}$;

2) $\vec{OB} = x \cdot \vec{OD}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные пересечением диагоналей трапеции.

1. Угол $\angle BOC$ равен углу $\angle DOA$ как вертикальные углы.

2. Угол $\angle OCB$ равен углу $\angle OAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} = \frac{BC}{AD} $

Подставим известные значения длин оснований $BC = 3$ и $AD = 7$: $ \frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} = \frac{3}{7} $

1) $\overrightarrow{OC} = x \cdot \overrightarrow{AC}$

Точки $A, O, C$ лежат на одной прямой (диагонали $AC$), причем точка $O$ находится между $A$ и $C$. Следовательно, векторы $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{AC}$ сонаправлены, и число $x$ будет положительным.

Длина вектора $\overrightarrow{AC}$ равна сумме длин векторов $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$: $ |\overrightarrow{AC}| = AC = AO + OC $

Из соотношения подобия имеем $ \frac{OC}{OA} = \frac{3}{7} $, откуда $OA = \frac{7}{3}OC$.

Тогда $AC = \frac{7}{3}OC + OC = (\frac{7}{3} + 1)OC = \frac{10}{3}OC$.

Из условия $\overrightarrow{OC} = x \cdot \overrightarrow{AC}$ следует, что $x$ равно отношению длин векторов: $ x = \frac{|\overrightarrow{OC}|}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{OC}{AC} $

Подставим выражение для $AC$: $ x = \frac{OC}{\frac{10}{3}OC} = \frac{1}{\frac{10}{3}} = \frac{3}{10} $

Ответ: $x = \frac{3}{10}$

2) $\overrightarrow{OB} = x \cdot \overrightarrow{OD}$

Точки $B, O, D$ лежат на одной прямой (диагонали $BD$), причем точка $O$ находится между $B$ и $D$. Векторы $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OD}$ начинаются в одной точке $O$, но направлены в противоположные стороны. Следовательно, число $x$ будет отрицательным.

Модуль числа $x$ равен отношению длин векторов: $ |x| = \frac{|\overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{OD}|} = \frac{OB}{OD} $

Из соотношения подобия треугольников мы знаем, что $ \frac{OB}{OD} = \frac{3}{7} $.

Значит, $|x| = \frac{3}{7}$.

Поскольку векторы противоположно направлены, $x$ отрицателен. $ x = -\frac{3}{7} $

Ответ: $x = -\frac{3}{7}$