Номер 221, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

221. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=5, \angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ}$;

2) $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=7, \angle(\vec{a}, \vec{b})=135^{\circ}$;

3) $|\vec{a}|=9, |\vec{b}|=8, \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^{\circ}$.

221. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ |\vec{a}|=2, |\vec{b}|=5, \angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ}; $

2) $ |\vec{a}|=4, |\vec{b}|=7, \angle(\vec{a}, \vec{b})=135^{\circ}; $

3) $ |\vec{a}|=9, |\vec{b}|=8, \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^{\circ}. $

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними. Формула для вычисления скалярного произведения выглядит следующим образом:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.Применим эту формулу для каждого из заданных случаев.

1) Даны значения: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$. Подставляем эти значения в формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.
Ответ: 5

2) Даны значения: $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 7$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$. Подставляем значения в формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 7 \cdot \cos(135^\circ)$. Значение косинуса для угла $135^\circ$ равно $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, скалярное произведение равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 28 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -14\sqrt{2}$.
Ответ: $-14\sqrt{2}$

3) Даны значения: $|\vec{a}| = 9$, $|\vec{b}| = 8$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ$. Подставляем значения в формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 9 \cdot 8 \cdot \cos(90^\circ)$. Косинус прямого угла равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$. Поэтому скалярное произведение равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 72 \cdot 0 = 0$. Скалярное произведение равно нулю, что является признаком перпендикулярности (ортогональности) векторов.
Ответ: 0