Номер 227, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Медианы $BM$ и $CD$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 18 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$;

3) $\vec{BM}$ и $\vec{AC}$;

4) $\vec{OM}$ и $\vec{OC}$;

5) $\vec{CD}$ и $\vec{OM}$;

6) $\vec{OB}$ и $\vec{OM}$.

227. Медианы $BM$ и $CD$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 18 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$;

3) $\vec{BM}$ и $\vec{AC}$;

4) $\vec{OM}$ и $\vec{OC}$;

5) $\vec{CD}$ и $\vec{OM}$;

6) $\vec{OB}$ и $\vec{OM}$.

Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной $a = 18$ см. В правильном треугольнике все углы равны $60^\circ$, а медианы являются также высотами и биссектрисами.

Длина медианы (она же высота) в правильном треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$|\vec{BM}| = |\vec{CD}| = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.
Точка пересечения медиан $O$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
$|\vec{BO}| = \frac{2}{3} |\vec{BM}| = \frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
$|\vec{OM}| = \frac{1}{3} |\vec{BM}| = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см.
$|\vec{CO}| = \frac{2}{3} |\vec{CD}| = \frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
$|\vec{OD}| = \frac{1}{3} |\vec{CD}| = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

1) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$
Длины векторов: $|\vec{AB}| = 18$ и $|\vec{AC}| = 18$.
Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен углу при вершине $A$ треугольника $ABC$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 162$.
Ответ: 162.

2) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$
Длины векторов: $|\vec{AB}| = 18$ и $|\vec{BC}| = 18$.
Чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, их нужно отложить от одной точки. Этот угол будет смежным с углом $\angle ABC$.
Угол между векторами равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = 18 \cdot 18 \cdot (-\frac{1}{2}) = -162$.
Ответ: -162.

3) $\vec{BM}$ и $\vec{AC}$
В правильном треугольнике медиана $BM$ также является высотой, проведенной к стороне $AC$. Следовательно, $BM \perp AC$.
Угол между векторами $\vec{BM}$ и $\vec{AC}$ равен $90^\circ$.
$\vec{BM} \cdot \vec{AC} = |\vec{BM}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(90^\circ) = 9\sqrt{3} \cdot 18 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0.

4) $\vec{OM}$ и $\vec{OC}$
Длины векторов: $|\vec{OM}| = 3\sqrt{3}$ и $|\vec{OC}| = 6\sqrt{3}$.
Угол между векторами равен $\angle MOC$. Рассмотрим $\triangle OMC$.
Так как $BM$ — высота, $\angle OMC = 90^\circ$.
Так как $CD$ — биссектриса, $\angle OCM = \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
Из суммы углов треугольника: $\angle MOC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
$\vec{OM} \cdot \vec{OC} = |\vec{OM}| \cdot |\vec{OC}| \cdot \cos(60^\circ) = 3\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 18 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 27$.
Ответ: 27.

5) $\vec{CD}$ и $\vec{OM}$
Длины векторов: $|\vec{CD}| = 9\sqrt{3}$ и $|\vec{OM}| = 3\sqrt{3}$.
Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{OD}$ сонаправлены. Вектор $\vec{OM}$ также сонаправлен с самим собой. Угол между $\vec{CD}$ и $\vec{OM}$ равен углу $\angle MOD$.
Угол $\angle MOD$ является вертикальным к углу $\angle BOC$. Найдем $\angle BOC$ из $\triangle BOC$ по теореме косинусов ($OB=OC=6\sqrt{3}$, $BC=18$):
$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)$
$18^2 = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (6\sqrt{3})^2 \cdot \cos(\angle BOC)$
$324 = 108 + 108 - 2 \cdot 108 \cdot \cos(\angle BOC)$
$108 = -216 \cos(\angle BOC) \Rightarrow \cos(\angle BOC) = -0.5 \Rightarrow \angle BOC = 120^\circ$.
Следовательно, $\angle MOD = \angle BOC = 120^\circ$.
$\vec{CD} \cdot \vec{OM} = |\vec{CD}| \cdot |\vec{OM}| \cdot \cos(120^\circ) = 9\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = 81 \cdot (-\frac{1}{2}) = -40,5$.
Ответ: -40,5.

6) $\vec{OB}$ и $\vec{OM}$
Длины векторов: $|\vec{OB}| = 6\sqrt{3}$ и $|\vec{OM}| = 3\sqrt{3}$.
Векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OM}$ лежат на одной прямой (медиане $BM$), но направлены в противоположные стороны, так как точка $O$ лежит между $B$ и $M$.
Угол между ними равен $180^\circ$.
$\vec{OB} \cdot \vec{OM} = |\vec{OB}| \cdot |\vec{OM}| \cdot \cos(180^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot (-1) = 54 \cdot (-1) = -54$.
Ответ: -54.