Номер 232, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. Даны векторы $\vec{a}(-2; 3)$ и $\vec{b}(1; -3)$. Найдите значение $m$, при котором векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

232. Даны векторы $\vec{a}(-2; 3)$ и $\vec{b}(1; -3)$. Найдите значение $m$, при котором векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

По условию, даны векторы $\vec{a}(-2; 3)$ и $\vec{b}(1; -3)$.

Два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Векторы, о которых идет речь в задаче, это $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$.

Следовательно, для их перпендикулярности должно выполняться условие:

$(\vec{a} + m\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$

Для начала найдем координаты вектора $\vec{a} + m\vec{b}$.

1. Найдем координаты вектора $m\vec{b}$:

$m\vec{b} = m(1; -3) = (m \cdot 1; m \cdot (-3)) = (m; -3m)$

2. Теперь найдем координаты вектора $\vec{a} + m\vec{b}$, сложив соответствующие координаты векторов $\vec{a}$ и $m\vec{b}$:

$\vec{a} + m\vec{b} = (-2; 3) + (m; -3m) = (-2 + m; 3 - 3m)$

Теперь, когда у нас есть координаты обоих векторов, мы можем вычислить их скалярное произведение и приравнять его к нулю.

Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.

В нашем случае, векторы это $(-2 + m; 3 - 3m)$ и $(1; -3)$.

$(-2 + m) \cdot 1 + (3 - 3m) \cdot (-3) = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$-2 + m - 9 + 9m = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(m + 9m) + (-2 - 9) = 0$

$10m - 11 = 0$

$10m = 11$

$m = \frac{11}{10}$

$m = 1.1$

Таким образом, при значении $m = 1.1$ векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны.

Ответ: $1.1$