Номер 236, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 1)$, $B (2; 5)$, $C (5; 2)$ и $D (1; -2)$ является прямоугольником.

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 1), B (2; 5), C (5; 2)$ и $D (1; -2)$ является прямоугольником.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, можно воспользоваться одним из его определений: прямоугольник — это параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол. Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем, что ABCD — параллелограмм, а затем — что у него есть прямой угол.

1. Доказательство того, что ABCD — параллелограмм.

Один из признаков параллелограмма в координатах — равенство угловых коэффициентов противолежащих сторон. Найдём угловые коэффициенты всех сторон четырёхугольника по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• Угловой коэффициент стороны AB с вершинами A(-2; 1) и B(2; 5):
  $k_{AB} = \frac{5 - 1}{2 - (-2)} = \frac{4}{4} = 1$.
• Угловой коэффициент стороны BC с вершинами B(2; 5) и C(5; 2):
  $k_{BC} = \frac{2 - 5}{5 - 2} = \frac{-3}{3} = -1$.
• Угловой коэффициент стороны CD с вершинами C(5; 2) и D(1; -2):
  $k_{CD} = \frac{-2 - 2}{1 - 5} = \frac{-4}{-4} = 1$.
• Угловой коэффициент стороны DA с вершинами D(1; -2) и A(-2; 1):
  $k_{DA} = \frac{1 - (-2)}{-2 - 1} = \frac{3}{-3} = -1$.

Сравним угловые коэффициенты противолежащих сторон: $k_{AB} = k_{CD} = 1$, следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $CD$ ($AB \parallel CD$).
$k_{BC} = k_{DA} = -1$, следовательно, сторона $BC$ параллельна стороне $DA$ ($BC \parallel DA$).
Поскольку противолежащие стороны четырёхугольника попарно параллельны, ABCD является параллелограммом.

2. Доказательство наличия прямого угла.

В координатной плоскости две прямые (невертикальные) перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1. Проверим это условие для смежных сторон, например, AB и BC.

$k_{AB} \cdot k_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1$.

Так как произведение угловых коэффициентов равно -1, стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны ($AB \perp BC$), а значит, угол $\angle B$ является прямым.

Поскольку ABCD — это параллелограмм, у которого есть прямой угол, он по определению является прямоугольником.

Ответ: Четырёхугольник ABCD с заданными вершинами является прямоугольником, что и требовалось доказать.