Номер 235, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{AB}$, если A (-5; 4), B (1; -4), с положительными направлениями координатных осей.

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{AB}$, если A (-5; 4), B (1; -4), с положительными направлениями координатных осей.

Для того чтобы найти косинусы углов, которые вектор образует с положительными направлениями координатных осей (также известные как направляющие косинусы), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти координаты вектора $\vec{AB}$

Координаты вектора, заданного двумя точками $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, вычисляются по формуле: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

Подставим координаты данных точек $A(-5; 4)$ и $B(1; -4)$: $\vec{AB} = (1 - (-5); -4 - 4) = (1 + 5; -8) = (6; -8)$. Итак, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(6; -8)$.

2. Найти модуль (длину) вектора $\vec{AB}$

Модуль вектора $\vec{a}(a_x; a_y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

Для вектора $\vec{AB}(6; -8)$ его модуль будет равен: $|\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

3. Найти направляющие косинусы вектора $\vec{AB}$

Косинус угла $\alpha$, который вектор образует с положительным направлением оси Ox, равен отношению абсциссы вектора к его модулю: $\cos \alpha = \frac{x_{AB}}{|\vec{AB}|}$.

Косинус угла $\beta$, который вектор образует с положительным направлением оси Oy, равен отношению ординаты вектора к его модулю: $\cos \beta = \frac{y_{AB}}{|\vec{AB}|}$.

Вычисляем значения для нашего вектора:
Косинус угла с осью Ox: $\cos \alpha = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Косинус угла с осью Oy: $\cos \beta = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$.

Ответ: косинус угла с положительным направлением оси Ox равен $\frac{3}{5}$, а с положительным направлением оси Oy — $-\frac{4}{5}$.