Номер 239, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найтите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, а векторы $\vec{a}+2\vec{b}$ и $3\vec{a}+\vec{b}$ перпендикулярны.

239. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, а векторы $\vec{a}+2\vec{b}$ и $3\vec{a}+\vec{b}$ перпендикулярны.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется через их скалярное произведение и модули по формуле:
$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

В задаче даны следующие условия:
1. Модули векторов: $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$.
2. Векторы $\vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{q} = 3\vec{a} + \vec{b}$ перпендикулярны.

Условие перпендикулярности двух векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю. Таким образом, $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$.
Запишем это условие для наших векторов:
$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} + \vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность, коммутативность и связь с модулем вектора $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$):
$\vec{a} \cdot (3\vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + (2\vec{b}) \cdot (3\vec{a}) + (2\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$
$3(\vec{a} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + 6(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$
$3|\vec{a}|^2 + 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2 = 0$

Теперь подставим известные значения модулей $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$ в полученное уравнение:
$3(1)^2 + 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(1)^2 = 0$
$3 + 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 = 0$
$5 + 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

Из этого уравнения найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -5$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{5}{7}$

Наконец, вычислим косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя найденное скалярное произведение и данные модули:
$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-5/7}{1 \cdot 1} = -\frac{5}{7}$

Ответ: $-\frac{5}{7}$