Номер 242, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $AH$ треугольника $ABC$, если $A (4; 5)$, $B (-3; 1)$, $C (-5; -6)$.

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $AH$ треугольника $ABC$, если $A (4; 5)$, $B (-3; 1)$, $C (-5; -6)$.

Высота AH треугольника ABC, проведенная из вершины A, перпендикулярна стороне BC. Следовательно, для нахождения уравнения прямой, содержащей высоту AH, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти угловой коэффициент прямой, содержащей сторону BC.

2. Используя условие перпендикулярности прямых, найти угловой коэффициент высоты AH.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A с найденным угловым коэффициентом.

1. Нахождение углового коэффициента прямой BC.

Найдем угловой коэффициент $k_{BC}$ прямой, проходящей через точки $B(-3; 1)$ и $C(-5; -6)$, по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$k_{BC} = \frac{-6 - 1}{-5 - (-3)} = \frac{-7}{-5 + 3} = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2}$

2. Нахождение углового коэффициента высоты AH.

Прямая AH перпендикулярна прямой BC. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1:

$k_{AH} \cdot k_{BC} = -1$

Отсюда находим угловой коэффициент $k_{AH}$:

$k_{AH} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{\frac{7}{2}} = -\frac{2}{7}$

3. Составление уравнения прямой AH.

Теперь у нас есть точка $A(4; 5)$, через которую проходит высота, и ее угловой коэффициент $k_{AH} = -\frac{2}{7}$. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Подставим наши значения:

$y - 5 = -\frac{2}{7}(x - 4)$

Чтобы привести уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$, умножим обе части на 7:

$7(y - 5) = -2(x - 4)$

$7y - 35 = -2x + 8$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2x + 7y - 35 - 8 = 0$

$2x + 7y - 43 = 0$

Ответ: $2x + 7y - 43 = 0$