Номер 241, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

241. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром $M (3; -1)$ в точке $E (2; 4)$.

241. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром $M (3; -1)$ в точке $E (2; 4).$

Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Поэтому сначала найдем угловой коэффициент прямой, содержащей радиус $ME$, соединяющий центр окружности $M(3; -1)$ и точку касания $E(2; 4)$.

Угловой коэффициент $k_{ME}$ прямой $ME$ вычисляется по формуле:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$k_{ME} = \frac{4 - (-1)}{2 - 3} = \frac{4 + 1}{-1} = \frac{5}{-1} = -5$

Прямая-касательная перпендикулярна прямой $ME$. Угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ связан с угловым коэффициентом радиуса $k_{ME}$ условием перпендикулярности прямых: $k_{кас} \cdot k_{ME} = -1$.
Отсюда находим угловой коэффициент касательной:
$k_{кас} = -\frac{1}{k_{ME}} = -\frac{1}{-5} = \frac{1}{5}$

Теперь, зная угловой коэффициент касательной ($k_{кас} = \frac{1}{5}$) и точку на ней (точка касания $E(2; 4)$), мы можем составить уравнение этой прямой, используя формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
Подставляем координаты точки $E$ и значение $k_{кас}$:
$y - 4 = \frac{1}{5}(x - 2)$
Чтобы привести уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$, умножим обе части на 5:
$5(y - 4) = x - 2$
$5y - 20 = x - 2$
$x - 5y - 2 + 20 = 0$
$x - 5y + 18 = 0$

Ответ: $x - 5y + 18 = 0$