Номер 243, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

243. Точка $M$ — середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$. Найдите косинус угла между прямыми $AC$ и $DM$.

243. Точка $M$ – середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$. Найдите косинус угла между прямыми $AC$ и $DM$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A, направив ось Ox вдоль стороны AB и ось Oy вдоль стороны AD.

Пусть сторона квадрата равна $2a$. Тогда координаты вершин будут:

• $A(0; 0)$
• $B(2a; 0)$
• $C(2a; 2a)$
• $D(0; 2a)$

Точка M — середина стороны AB. Ее координаты:

$M = (\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{0+2a}{2}; \frac{0+0}{2}) = (a; 0)$

Угол между прямыми AC и DM можно найти как угол между их направляющими векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DM}$. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{AC} = \{x_C-x_A; y_C-y_A\} = \{2a-0; 2a-0\} = \{2a; 2a\}$

$\vec{DM} = \{x_M-x_D; y_M-y_D\} = \{a-0; 0-2a\} = \{a; -2a\}$

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{DM}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DM}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{DM} = (2a \cdot a) + (2a \cdot (-2a)) = 2a^2 - 4a^2 = -2a^2$

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}$

$|\vec{DM}| = \sqrt{a^2 + (-2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos \alpha = \frac{-2a^2}{2a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{-2a^2}{2a^2\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$

Угол между прямыми по определению считается острым (или прямым), поэтому его значение находится в диапазоне от 0 до 90 градусов. Косинус такого угла должен быть неотрицательным. Полученный отрицательный косинус соответствует тупому углу между направлениями векторов. Угол $\phi$ между прямыми будет равен $180^\circ - \alpha$, и его косинус будет равен модулю косинуса угла $\alpha$.

$\cos \phi = |\cos \alpha| = |-\frac{1}{\sqrt{10}}| = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.