Номер 240, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Скалярное произведение векторов. Вариант 1. Упражнения - номер 240, страница 27.

Условие 2017.

240. Найдите геометрическое место точек $K(x; y)$ координатной плоскости таких, что для точек $A(3; -2)$ и $B(5; 4)$ выполняется равенство:

1) $\vec{AK} \cdot \vec{AB} = 0;$

2) $\vec{AK} \cdot \vec{BK} = 4.$

Условие 2021.

240. Найдите геометрическое место точек K(x; y) координатной плоскости таких, что для точек A(3; -2) и B(5; 4) выполняется равенство:

1) $\vec{AK} \cdot \vec{AB} = 0;$

2) $\vec{AK} \cdot \vec{BK} = 4.$

Решение.

Решение 2 (2021).

Для решения задачи найдем координаты векторов, которые зависят от координат искомой точки $K(x; y)$ и заданных точек $A(3; -2)$ и $B(5; 4)$.

Координаты вектора $\vec{AK}$ равны разности соответствующих координат его конца (K) и начала (A):

$\vec{AK} = (x - 3; y - (-2)) = (x - 3; y + 2)$

Координаты вектора $\vec{BK}$:

$\vec{BK} = (x - 5; y - 4)$

Координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (5 - 3; 4 - (-2)) = (2; 6)$

1) $\vec{AK} \cdot \vec{AB} = 0$

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны. Это означает, что геометрическое место точек K — это прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная вектору $\vec{AB}$.

Запишем условие равенства нулю скалярного произведения, используя формулу $\vec{a}(x_1, y_1) \cdot \vec{b}(x_2, y_2) = x_1x_2 + y_1y_2$:

$\vec{AK} \cdot \vec{AB} = (x - 3) \cdot 2 + (y + 2) \cdot 6 = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$2x - 6 + 6y + 12 = 0$

$2x + 6y + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы получить его в каноническом виде:

$x + 3y + 3 = 0$

Это уравнение прямой, которая и является искомым геометрическим местом точек.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $x + 3y + 3 = 0$.

2) $\vec{AK} \cdot \vec{BK} = 4$

Выразим скалярное произведение через координаты векторов $\vec{AK} = (x - 3; y + 2)$ и $\vec{BK} = (x - 5; y - 4)$:

$\vec{AK} \cdot \vec{BK} = (x - 3)(x - 5) + (y + 2)(y - 4) = 4$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$(x^2 - 5x - 3x + 15) + (y^2 - 4y + 2y - 8) = 4$

$x^2 - 8x + 15 + y^2 - 2y - 8 = 4$

$x^2 - 8x + y^2 - 2y + 7 = 4$

$x^2 - 8x + y^2 - 2y + 3 = 0$

Чтобы определить вид кривой, которую задает это уравнение, выделим полные квадраты для переменных x и y. Для этого сгруппируем слагаемые с x и с y:

$(x^2 - 8x) + (y^2 - 2y) + 3 = 0$

Дополним выражения в скобках до полного квадрата, прибавляя и вычитая необходимые числа:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 3 = 0$

$(x - 4)^2 - 16 + (y - 1)^2 - 1 + 3 = 0$

$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 - 14 = 0$

$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 14$

Это каноническое уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ с центром в точке $C(4; 1)$ и радиусом $R = \sqrt{14}$.

Ответ: Окружность, заданная уравнением $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 14$.