Номер 233, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

233. Даны векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, $ |\vec{a}|=3 $, $ |\vec{b}|=2 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ} $. Найдите:

1) $ |\vec{a}+\vec{b}|; $

2) $ |2\vec{a}-3\vec{b}|. $

233. Даны векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, $ |\vec{a}|=3 $, $ |\vec{b}|=2 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ} $. Найдите:

1) $ |\vec{a}+\vec{b}|; $

2) $ |2\vec{a}-3\vec{b}|. $

Для решения задачи воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Квадрат модуля (длины) вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Сначала вычислим скалярное произведение исходных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим данные из условия: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Найдем квадрат модуля вектора суммы $\vec{a}+\vec{b}$.

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения в полученное выражение:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 + 2^2 = 9 + 6 + 4 = 19$.

Тогда модуль вектора $\vec{a}+\vec{b}$ равен корню из этого значения:

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{19}$.

Ответ: $\sqrt{19}$.

Аналогично найдем квадрат модуля вектора $2\vec{a}-3\vec{b}$.

$|2\vec{a}-3\vec{b}|^2 = (2\vec{a}-3\vec{b}) \cdot (2\vec{a}-3\vec{b}) = (2\vec{a}) \cdot (2\vec{a}) - 2(2\vec{a} \cdot 3\vec{b}) + (3\vec{b}) \cdot (3\vec{b})$

$= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|2\vec{a}-3\vec{b}|^2 = 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 9 \cdot 2^2 = 4 \cdot 9 - 36 + 9 \cdot 4 = 36 - 36 + 36 = 36$.

Тогда модуль вектора $2\vec{a}-3\vec{b}$ равен:

$|2\vec{a}-3\vec{b}| = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: $6$.