Номер 231, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Скалярное произведение векторов. Вариант 1. Упражнения - номер 231, страница 27.

Условие 2017.

231. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору $\vec{m}(2; 5)$, модуль которого равен модулю вектора $\vec{m}$.

Условие 2021.

231. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору $ \vec{m}(2; 5) $, модуль которого равен модулю вектора $ m $.

Решение.

Решение 2 (2021).

Пусть искомый вектор $\vec{n}$ имеет координаты $(x; y)$. Согласно условию задачи, он должен удовлетворять двум требованиям.

Первое требование: вектор $\vec{n}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{m}(2; 5)$. Два вектора на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Применив это правило к нашим векторам, получим первое уравнение:

$2 \cdot x + 5 \cdot y = 0$

Второе требование: модуль (длина) искомого вектора должен быть равен модулю вектора $\vec{m}$. Модуль вектора $\vec{a}(x_a; y_a)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2}$.

Сначала вычислим модуль вектора $\vec{m}$:

$|\vec{m}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

Модуль искомого вектора $\vec{n}$ равен $|\vec{n}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Из условия $|\vec{n}| = |\vec{m}|$ следует второе уравнение:

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{29}$

Возведя обе части в квадрат, получим:

$x^2 + y^2 = 29$

Теперь нам нужно решить систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} 2x + 5y = 0 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$2x = -5y \implies x = -\frac{5}{2}y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(-\frac{5}{2}y)^2 + y^2 = 29$

$\frac{25}{4}y^2 + y^2 = 29$

Чтобы избавиться от дроби, приведем к общему знаменателю:

$\frac{25y^2 + 4y^2}{4} = 29$

$\frac{29y^2}{4} = 29$

Разделим обе части уравнения на 29:

$\frac{y^2}{4} = 1 \implies y^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$:

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = -\frac{5}{2} \cdot 2 = -5$. Координаты первого возможного вектора: $(-5; 2)$.
2. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -\frac{5}{2} \cdot (-2) = 5$. Координаты второго возможного вектора: $(5; -2)$.

Таким образом, существуют два вектора, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $(-5; 2)$ или $(5; -2)$.