Номер 229, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. Даны векторы $ \vec{a}(3; -5) $ и $ \vec{b}(x; 6) $. При каких значениях x угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $:1) острый; 2) прямой; 3) тупой?

229. Даны векторы $\vec{a}(3;-5)$ и $\vec{b}(x; 6)$. При каких значениях $x$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Тип угла между двумя ненулевыми векторами определяется знаком их скалярного произведения. Если скалярное произведение положительно, угол острый; если равно нулю — прямой; если отрицательно — тупой.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$.

Для данных векторов $\vec{a}(3; -5)$ и $\vec{b}(x; 6)$ скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot x + (-5) \cdot 6 = 3x - 30$.

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются ненулевыми при любых значениях $x$, так как их длины всегда больше нуля.

1) острый

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.

Решим неравенство:

$3x - 30 > 0$

$3x > 30$

$x > 10$

Ответ: при $x > 10$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. В этом случае векторы перпендикулярны.

Решим уравнение:

$3x - 30 = 0$

$3x = 30$

$x = 10$

Ответ: при $x = 10$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Решим неравенство:

$3x - 30 < 0$

$3x < 30$

$x < 10$

Ответ: при $x < 10$.