Номер 222, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$, $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=6$.
Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a}$.

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$, $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=6$.

Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b};$

2) $(2\vec{a}+3\vec{b})\cdot \vec{a}.$

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• Длина вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}|=5$
• Длина вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}|=6$
• Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\alpha = 120^{\circ}$

Значение косинуса угла $120^{\circ}$ равно $\cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -1/2$.

Теперь подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 6 \cdot \cos(120^{\circ}) = 30 \cdot (-1/2) = -15$.

Ответ: -15

2) $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a}$

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами скалярного произведения:

• Распределительный закон (дистрибутивность): $(\vec{x} + \vec{y}) \cdot \vec{z} = \vec{x} \cdot \vec{z} + \vec{y} \cdot \vec{z}$
• Сочетательный закон для скалярного множителя: $(k\vec{x}) \cdot \vec{y} = k(\vec{x} \cdot \vec{y})$

Раскроем скобки в заданном выражении:

$(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a} = (2\vec{a}) \cdot \vec{a} + (3\vec{b}) \cdot \vec{a}$

Применим сочетательный закон:

$2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 3(\vec{b} \cdot \vec{a})$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Также скалярное произведение коммутативно: $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$.

Таким образом, выражение преобразуется к виду:

$2|\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Из условия задачи мы знаем, что $|\vec{a}|=5$. Из предыдущего пункта мы вычислили, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = -15$.

Подставим эти значения в полученное выражение:

$2 \cdot 5^2 + 3 \cdot (-15) = 2 \cdot 25 - 45 = 50 - 45 = 5$.

Ответ: 5