Номер 223, страница 26 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $ 30^\circ $, $ |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 $.

Найдите скалярное произведение $ (\vec{a} - 2\vec{b})(\vec{a} + \vec{b}) $.

223. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $30^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.

Найдите скалярное произведение $(\vec{a}-2\vec{b})(\vec{a}+\vec{b})$.

Для того чтобы найти скалярное произведение $(\vec{a}-2\vec{b})(\vec{a}+\vec{b})$, мы воспользуемся свойствами скалярного произведения. Сначала раскроем скобки, как при умножении многочленов:

$(\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b}$

Теперь используем следующие свойства скалярного произведения:

1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

2. Скалярное произведение коммутативно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Применив эти свойства, упростим выражение:

$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Из условия задачи мы знаем, что $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, а угол между ними равен $30^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим все известные значения в наше упрощенное выражение:

$|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 1^2 - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot 1^2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$