Номер 216, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

216. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, коллинеарного вектору $\vec{a}(-6; 8)$, если $|\vec{b}| = 40$.

216. Найдите координаты вектора $\vec{b}$, коллинеарного вектору $\vec{a}(-6; 8)$, если $|\vec{b}|=40$.

По определению, коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что один вектор можно выразить через другой, умножив его на некоторое число (скаляр) $k$. Таким образом, если вектор $\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, то $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$.

Задан вектор $\vec{a}(-6; 8)$. Найдем координаты вектора $\vec{b}$:

$\vec{b} = k \cdot \vec{a} = k \cdot (-6; 8) = (-6k; 8k)$

Длина (модуль) вектора $\vec{b}$ вычисляется по формуле $|\vec{b}| = \sqrt{x_b^2 + y_b^2}$. По условию задачи, $|\vec{b}| = 40$. Подставим координаты вектора $\vec{b}$ в формулу длины и составим уравнение:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-6k)^2 + (8k)^2} = 40$

Теперь решим это уравнение относительно $k$:

$\sqrt{36k^2 + 64k^2} = 40$

$\sqrt{100k^2} = 40$

$10 \cdot |k| = 40$

$|k| = \frac{40}{10}$

$|k| = 4$

Из последнего равенства следует, что $k$ может принимать два значения: $k = 4$ или $k = -4$. Это означает, что существуют два вектора, удовлетворяющих условиям задачи (один сонаправлен с $\vec{a}$, другой — противоположно направлен).

1. Найдем координаты $\vec{b}$ при $k = 4$:

$\vec{b} = (-6 \cdot 4; 8 \cdot 4) = (-24; 32)$

2. Найдем координаты $\vec{b}$ при $k = -4$:

$\vec{b} = (-6 \cdot (-4); 8 \cdot (-4)) = (24; -32)$

Ответ: $(-24; 32)$ или $(24; -32)$.