Номер 209, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $D$ и $E$ соответственно, что $AD : DC = 3 : 2$, $BE : EC = 1 : 3$. Выразите векторы $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE}$ и $\overrightarrow{BD}$ через векторы $\overrightarrow{BE} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

209. На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $D$ и $E$ соответственно, что $AD : DC = 3 : 2$, $BE : EC = 1 : 3$. Выразите векторы $\vec{BC}$, $\vec{AC}$, $\vec{AB}$, $\vec{AE}$ и $\vec{BD}$ через векторы $\vec{BE} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

По условию задачи даны соотношения для точек на сторонах треугольника:

• Точка $D$ на стороне $AC$ такова, что $AD : DC = 3 : 2$. Это означает, что вектор $\vec{DC}$ коллинеарен вектору $\vec{AD}$ и его длина составляет $\frac{2}{3}$ длины вектора $\vec{AD}$. Таким образом, $\vec{DC} = \frac{2}{3}\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{b}$.
• Точка $E$ на стороне $BC$ такова, что $BE : EC = 1 : 3$. Это означает, что вектор $\vec{EC}$ коллинеарен вектору $\vec{BE}$ и его длина в 3 раза больше длины вектора $\vec{BE}$. Таким образом, $\vec{EC} = 3\vec{BE} = 3\vec{a}$.

Теперь выразим требуемые векторы через $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{BC}$
Вектор $\vec{BC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{BE}$ и $\vec{EC}$.
$\vec{BC} = \vec{BE} + \vec{EC}$
Мы знаем, что $\vec{BE} = \vec{a}$ и $\vec{EC} = 3\vec{a}$.
$\vec{BC} = \vec{a} + 3\vec{a} = 4\vec{a}$
Ответ: $\vec{BC} = 4\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{AC}$
Вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$.
$\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}$
Мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{DC} = \frac{2}{3}\vec{b}$.
$\vec{AC} = \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{5}{3}\vec{b}$
Ответ: $\vec{AC} = \frac{5}{3}\vec{b}$

Выражение вектора $\vec{AB}$
Воспользуемся правилом треугольника для векторов: $\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$.
Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$, поэтому $\vec{CB} = -\vec{BC}$.
Из предыдущих вычислений мы знаем, что $\vec{AC} = \frac{5}{3}\vec{b}$ и $\vec{BC} = 4\vec{a}$.
$\vec{AB} = \frac{5}{3}\vec{b} + (-4\vec{a}) = \frac{5}{3}\vec{b} - 4\vec{a}$
Ответ: $\vec{AB} = \frac{5}{3}\vec{b} - 4\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{AE}$
Воспользуемся правилом треугольника: $\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE}$.
Мы уже нашли $\vec{AB} = \frac{5}{3}\vec{b} - 4\vec{a}$ и дано $\vec{BE} = \vec{a}$.
$\vec{AE} = (\frac{5}{3}\vec{b} - 4\vec{a}) + \vec{a} = \frac{5}{3}\vec{b} - 3\vec{a}$
Ответ: $\vec{AE} = \frac{5}{3}\vec{b} - 3\vec{a}$

Выражение вектора $\vec{BD}$
Воспользуемся правилом треугольника: $\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}$.
Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -(\frac{5}{3}\vec{b} - 4\vec{a}) = 4\vec{a} - \frac{5}{3}\vec{b}$.
По условию $\vec{AD} = \vec{b}$.
$\vec{BD} = (4\vec{a} - \frac{5}{3}\vec{b}) + \vec{b} = 4\vec{a} - \frac{5}{3}\vec{b} + \frac{3}{3}\vec{b} = 4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$
Ответ: $\vec{BD} = 4\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$