Номер 210, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

210. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N, причём $BM = \frac{1}{3}BC$, $CN = \frac{4}{5}CD$ (рис. 18). Выразите векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Рис. 17

Рис. 18

210. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки M и N, причём $BM = \frac{1}{3}BC$, $CN = \frac{4}{5}CD$ (рис. 18). Выразите векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AN}$ через векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

Рис. 18

Выражение вектора $\vec{AM}$

Для нахождения вектора $\vec{AM}$ воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Вектор $\vec{AM}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$:
$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}$
По условию задачи нам дано, что $\vec{AB} = \vec{a}$.
Точка M лежит на стороне BC, и по условию $BM = \frac{1}{3}BC$. Так как векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены, то $\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BC}$.
ABCD — это параллелограмм, следовательно, его противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что $\vec{BC} = \vec{AD}$.
Из условия мы знаем, что $\vec{AD} = \vec{b}$, значит, $\vec{BC} = \vec{b}$.
Теперь можем найти вектор $\vec{BM}$:
$\vec{BM} = \frac{1}{3}\vec{BC} = \frac{1}{3}\vec{b}$
Подставим полученные выражения для $\vec{AB}$ и $\vec{BM}$ в исходное равенство:
$\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$
Ответ: $\vec{AM} = \vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$.

Выражение вектора $\vec{AN}$

Для нахождения вектора $\vec{AN}$ также воспользуемся правилом сложения векторов. Вектор $\vec{AN}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DN}$:
$\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN}$
По условию задачи, $\vec{AD} = \vec{b}$.
Точка N лежит на стороне CD. Из условия $CN = \frac{4}{5}CD$ следует, что длина отрезка $DN$ равна $DN = CD - CN = CD - \frac{4}{5}CD = \frac{1}{5}CD$.
Вектор $\vec{DN}$ направлен от точки D к точке N, то есть в сторону, противоположную направлению вектора $\vec{CD}$. Поэтому векторное соотношение будет выглядеть так: $\vec{DN} = -\frac{1}{5}\vec{CD}$.
В параллелограмме ABCD вектор $\vec{CD}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, то есть $\vec{CD} = -\vec{AB}$.
Так как $\vec{AB} = \vec{a}$, то $\vec{CD} = -\vec{a}$.
Подставим это в выражение для вектора $\vec{DN}$:
$\vec{DN} = -\frac{1}{5}(-\vec{a}) = \frac{1}{5}\vec{a}$
Теперь подставим найденные выражения для векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DN}$ в исходную формулу для $\vec{AN}$:
$\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{b} + \frac{1}{5}\vec{a}$
Ответ: $\vec{AN} = \frac{1}{5}\vec{a} + \vec{b}$.