Номер 215, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $\vec{a}(-5; 12);$

2) $\vec{c}(m; n).$

215. Найдите координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с вектором:

1) $ \vec{a}(-5; 12) $;

2) $ \vec{c}(m; n) $.

Чтобы найти координаты вектора, модуль которого равен 1 и который сонаправлен с данным вектором $\vec{v}(v_x; v_y)$, нужно найти так называемый единичный вектор (или орт) этого направления. Координаты единичного вектора $\vec{u}$ вычисляются путем деления каждой координаты исходного вектора на его модуль (длину) $|\vec{v}|$.
Формула для координат единичного вектора: $\vec{u} = (\frac{v_x}{|\vec{v}|}; \frac{v_y}{|\vec{v}|})$, где $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

1) Дан вектор $\vec{a}(-5; 12)$. Сначала найдем его модуль (длину): $|\vec{a}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. Теперь найдем координаты искомого единичного вектора, разделив координаты вектора $\vec{a}$ на его модуль: $(\frac{-5}{13}; \frac{12}{13}) = (-\frac{5}{13}; \frac{12}{13})$.
Ответ: $(-\frac{5}{13}; \frac{12}{13})$.

2) Дан вектор $\vec{c}(m; n)$. Для того чтобы задача имела решение, вектор $\vec{c}$ не должен быть нулевым, то есть $m^2 + n^2 \neq 0$. Найдем модуль вектора $\vec{c}$: $|\vec{c}| = \sqrt{m^2 + n^2}$. Найдем координаты искомого единичного вектора, разделив координаты вектора $\vec{c}$ на его модуль: $(\frac{m}{|\vec{c}|}; \frac{n}{|\vec{c}|}) = (\frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2}}; \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2}})$.
Ответ: $(\frac{m}{\sqrt{m^2 + n^2}}; \frac{n}{\sqrt{m^2 + n^2}})$.