Номер 208, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, $AO : OC = 5 : 7$, $BO : OD = 3 : 4$.

Выразите векторы $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}$ и $\vec{DA}$ через векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

208. O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, $AO : OC = 5 : 7$, $BO : OD = 3 : 4$.

Выразите векторы $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{CD}$ и $\vec{DA}$ через векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

По условию задачи, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ коллинеарны (лежат на одной прямой) и направлены в противоположные стороны, так как точка $O$ лежит между $A$ и $C$. Из заданного соотношения длин $AO : OC = 5 : 7$ следует, что $|\vec{OC}| = \frac{7}{5}|\vec{OA}|$.
Следовательно, вектор $\vec{OC}$ можно выразить через вектор $\vec{OA} = \vec{a}$ следующим образом:
$\vec{OC} = -\frac{7}{5}\vec{OA} = -\frac{7}{5}\vec{a}$.

Аналогично, векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ коллинеарны и противоположно направлены. Из соотношения длин $BO : OD = 3 : 4$ следует, что $|\vec{OD}| = \frac{4}{3}|\vec{OB}|$.
Следовательно, вектор $\vec{OD}$ можно выразить через вектор $\vec{OB} = \vec{b}$:
$\vec{OD} = -\frac{4}{3}\vec{OB} = -\frac{4}{3}\vec{b}$.

Теперь, используя правило разности векторов (которое следует из правила треугольника), выразим векторы сторон четырехугольника через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{AB}$
Вектор $\vec{AB}$ можно представить как разность векторов $\vec{OB}$ и $\vec{OA}$, проведенных из точки $O$ в концы вектора $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{BC}$
Вектор $\vec{BC}$ представим как разность векторов $\vec{OC}$ и $\vec{OB}$:
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = -\frac{7}{5}\vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{BC} = -\frac{7}{5}\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{CD}$
Вектор $\vec{CD}$ представим как разность векторов $\vec{OD}$ и $\vec{OC}$:
$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \left(-\frac{4}{3}\vec{b}\right) - \left(-\frac{7}{5}\vec{a}\right) = \frac{7}{5}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b}$.
Ответ: $\vec{CD} = \frac{7}{5}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b}$.

$\vec{DA}$
Вектор $\vec{DA}$ представим как разность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OD}$:
$\vec{DA} = \vec{OA} - \vec{OD} = \vec{a} - \left(-\frac{4}{3}\vec{b}\right) = \vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b}$.
Ответ: $\vec{DA} = \vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b}$.