Номер 206, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Точки E и F — середины сторон AB и BC параллелограмма ABCD (рис. 16). Выразите вектор $ \vec{FE} $ через векторы $ \vec{AB} = \vec{a} $ и $ \vec{AD} = \vec{b} $.

Рис. 15

Рис. 16

206. Точки E и F — середины сторон AB и BC параллелограмма ABCD (рис. 16). Выразите вектор $\overrightarrow{FE}$ через векторы $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$.

Рис. 16

Чтобы выразить вектор $\vec{FE}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Представим вектор $\vec{FE}$ как сумму двух других векторов, например, идя из точки F в точку E через точку B:

$\vec{FE} = \vec{FB} + \vec{BE}$

Рассмотрим каждый вектор в этой сумме отдельно.

По условию, точка $E$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что вектор $\vec{BE}$ направлен противоположно вектору $\vec{AB}$ и его длина равна половине длины $AB$. Следовательно:

$\vec{BE} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$

Так как по условию $\vec{AB} = \vec{a}$, то:

$\vec{BE} = -\frac{1}{2}\vec{a}$

Аналогично, точка $F$ является серединой стороны $BC$. Вектор $\vec{FB}$ направлен противоположно вектору $\vec{BC}$ и его длина равна половине длины $BC$:

$\vec{FB} = -\frac{1}{2}\vec{BC}$

Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{b}$, следовательно, $\vec{BC} = \vec{b}$. Подставим это в выражение для $\vec{FB}$:

$\vec{FB} = -\frac{1}{2}\vec{b}$

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{BE}$ и $\vec{FB}$ в исходное равенство:

$\vec{FE} = \vec{FB} + \vec{BE} = (-\frac{1}{2}\vec{b}) + (-\frac{1}{2}\vec{a})$

Запишем в более привычном порядке:

$\vec{FE} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{FE} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$