Номер 200, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 15). Постройте вектор:

1) $2\vec{a}$;

2) $-\frac{2}{3}\vec{b}$;

3) $\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}$.

200. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 15). Постройте вектор:

1) $2\vec{a}$;

2) $-\frac{2}{3}\vec{b}$;

3) $\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}$.

Рис. 15

Для решения задачи сначала определим координаты данных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по сетке на рисунке. Примем сторону одной клетки за единицу измерения.

• Вектор $\vec{a}$ соответствует смещению на 3 клетки влево и 2 клетки вверх. Следовательно, его координаты: $\vec{a} = (-3, 2)$.
• Вектор $\vec{b}$ соответствует смещению на 6 клеток вправо и 1 клетку вверх. Следовательно, его координаты: $\vec{b} = (6, 1)$.

Теперь построим требуемые векторы.

1) $2\vec{a}$

Умножение вектора на число (скаляр) $k$ изменяет его длину в $|k|$ раз. Если $k > 0$, направление вектора сохраняется. Если $k < 0$, направление меняется на противоположное. В данном случае $k=2$. Вектор $2\vec{a}$ будет сонаправлен вектору $\vec{a}$, а его длина будет в два раза больше.

Вычислим координаты вектора $2\vec{a}$:

$2\vec{a} = 2 \cdot (-3, 2) = (2 \cdot (-3), 2 \cdot 2) = (-6, 4)$

Для построения этого вектора необходимо из произвольной начальной точки отложить 6 клеток влево и 4 клетки вверх.

Ответ: Вектор $2\vec{a}$ имеет координаты $(-6, 4)$. Для его построения от начальной точки нужно сместиться на 6 клеток влево и 4 клетки вверх.

2) $-\frac{2}{3}\vec{b}$

В данном случае скаляр $k = -\frac{2}{3}$. Так как $k < 0$, результирующий вектор будет направлен в противоположную сторону относительно вектора $\vec{b}$. Его длина будет составлять $\frac{2}{3}$ от длины вектора $\vec{b}$.

Вычислим координаты вектора $-\frac{2}{3}\vec{b}$:

$-\frac{2}{3}\vec{b} = -\frac{2}{3} \cdot (6, 1) = (-\frac{2}{3} \cdot 6, -\frac{2}{3} \cdot 1) = (-4, -2/3)$

Для построения этого вектора необходимо из произвольной начальной точки отложить 4 клетки влево и $\frac{2}{3}$ клетки вниз.

Ответ: Вектор $-\frac{2}{3}\vec{b}$ имеет координаты $(-4, -2/3)$. Для его построения от начальной точки нужно сместиться на 4 клетки влево и на $2/3$ клетки вниз.

3) $\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

Разность векторов $\vec{x} - \vec{y}$ можно представить как сумму векторов $\vec{x} + (-\vec{y})$. Таким образом, нам нужно построить вектор, равный сумме векторов $\frac{1}{2}\vec{b}$ и $-\vec{a}$.

Найдем координаты этих векторов:

• $\frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2} \cdot (6, 1) = (3, 1/2) = (3, 0.5)$
• $-\vec{a} = -(-3, 2) = (3, -2)$

Теперь сложим их координаты, чтобы найти координаты итогового вектора:

$\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} = (3, 0.5) + (3, -2) = (3+3, 0.5-2) = (6, -1.5)$

Для построения этого вектора можно из произвольной начальной точки сместиться на 6 клеток вправо и на 1.5 клетки (полторы клетки) вниз. Также можно использовать правило треугольника: сначала отложить вектор $\frac{1}{2}\vec{b}$ (3 клетки вправо, 0.5 клетки вверх), а затем из его конца отложить вектор $-\vec{a}$ (3 клетки вправо, 2 клетки вниз). Результирующий вектор соединит начало первого и конец второго.

Ответ: Вектор $\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$ имеет координаты $(6, -1.5)$. Для его построения от начальной точки нужно сместиться на 6 клеток вправо и на 1.5 клетки вниз.