Номер 197, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

197. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 14). Выразите векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ через векторы $\overrightarrow{CO} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{BO} = \vec{b}$.

Рис. 14

197. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 14). Выразите векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{AD} $ через векторы $ \vec{CO} = \vec{a} $ и $ \vec{BO} = \vec{b} $.

Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждой из них.

Из этого свойства диагоналей следуют векторные равенства:
1. $\vec{AO} = \vec{OC}$
2. $\vec{BO} = \vec{OD}$

По условию задачи нам даны векторы $\vec{CO} = \vec{a}$ и $\vec{BO} = \vec{b}$.

Используя эти данные и свойства параллелограмма, найдем векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OD}$:
Вектор $\vec{OC}$ противоположен вектору $\vec{CO}$, следовательно, $\vec{OC} = -\vec{CO} = -\vec{a}$.
Так как $\vec{AO} = \vec{OC}$, то получаем $\vec{AO} = -\vec{a}$.
Так как $\vec{BO} = \vec{OD}$ и $\vec{BO} = \vec{b}$, то получаем $\vec{OD} = \vec{b}$.

Теперь мы можем выразить искомые векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, используя правило сложения векторов (правило треугольника).

Выражение вектора $\vec{AB}$

Рассмотрим треугольник $AOB$. По правилу треугольника имеем: $\vec{AB} = \vec{AO} + \vec{OB}$.

Мы уже нашли, что $\vec{AO} = -\vec{a}$. Вектор $\vec{OB}$ противоположен вектору $\vec{BO}$, поэтому $\vec{OB} = -\vec{BO} = -\vec{b}$.

Подставим найденные значения в формулу: $\vec{AB} = (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{AB} = -\vec{a} - \vec{b}$

Выражение вектора $\vec{AD}$

Рассмотрим треугольник $AOD$. По правилу треугольника имеем: $\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD}$.

Мы знаем, что $\vec{AO} = -\vec{a}$ и $\vec{OD} = \vec{b}$.

Подставим эти значения в формулу: $\vec{AD} = (-\vec{a}) + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{AD} = \vec{b} - \vec{a}$