Номер 191, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

191. Четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Среди данных пар векторов укажите пары противоположных векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$;

2) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$;

3) $\vec{AO}$ и $\vec{CO}$;

4) $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$;

5) $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$;

6) $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$.

191. Четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Среди данных пар векторов укажите пары противоположных векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$;

2) $\vec{BC}$ и $\vec{DA}$;

3) $\vec{AO}$ и $\vec{CO}$;

4) $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$;

5) $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$;

6) $\vec{AD}$ и $\vec{CD}$.

Противоположные векторы — это коллинеарные векторы, имеющие одинаковую длину (модуль), но противоположное направление. Для двух противоположных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ выполняется равенство $\vec{a} = -\vec{b}$. Рассмотрим каждую пару векторов, исходя из свойств прямоугольника $ABCD$, в котором диагонали пересекаются в точке $O$.

1) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{DC}$
В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны по длине. Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от точки $A$ к точке $B$. Вектор $\overrightarrow{DC}$ направлен от точки $D$ к точке $C$. Так как $AB \parallel DC$, векторы коллинеарны. Их направления совпадают. Следовательно, эти векторы равны: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Они не являются противоположными.
Ответ: не являются противоположными.

2) $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{DA}$
В прямоугольнике стороны $BC$ и $DA$ параллельны и равны по длине. Вектор $\overrightarrow{BC}$ направлен от $B$ к $C$, а вектор $\overrightarrow{DA}$ — от $D$ к $A$. Эти векторы коллинеарны, их модули равны ($|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{DA}|$), но их направления противоположны. Следовательно, эти векторы являются противоположными.
Ответ: являются противоположными.

3) $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{CO}$
Диагонали прямоугольника в точке пересечения $O$ делятся пополам, поэтому отрезки $AO$ и $CO$ равны по длине. Векторы $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{CO}$ лежат на одной прямой $AC$. Вектор $\overrightarrow{AO}$ направлен от $A$ к $O$, а вектор $\overrightarrow{CO}$ — от $C$ к $O$. Их направления противоположны. Следовательно, эти векторы являются противоположными.
Ответ: являются противоположными.

4) $\overrightarrow{BO}$ и $\overrightarrow{OD}$
Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам, поэтому $BO = OD$. Векторы $\overrightarrow{BO}$ и $\overrightarrow{OD}$ лежат на одной прямой $BD$. Вектор $\overrightarrow{BO}$ направлен от $B$ к $O$, а вектор $\overrightarrow{OD}$ — от $O$ к $D$. Их направления совпадают (оба направлены вдоль диагонали от $B$ к $D$). Следовательно, эти векторы равны: $\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}$. Они не являются противоположными.
Ответ: не являются противоположными.

5) $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BA}$
Эти векторы лежат на одной прямой, их модули равны длине отрезка $AB$. Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен от $A$ к $B$, а вектор $\overrightarrow{BA}$ — от $B$ к $A$. Их направления противоположны. По определению, эти векторы являются противоположными.
Ответ: являются противоположными.

6) $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CD}$
В прямоугольнике смежные стороны $AD$ и $CD$ перпендикулярны. Следовательно, векторы $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{CD}$ не являются коллинеарными, а значит, не могут быть противоположными.
Ответ: не являются противоположными.