Номер 195, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Даны точки A (4; 1) и B (-2; -3). Найдите координаты точки C такой, что $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$.

195. Даны точки А (4; 1) и В (-2; -3). Найдите координаты точки С такой, что $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$.

Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x; y)$.

Координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат его конца и начала. Для заданных точек $A(4; 1)$ и $B(-2; -3)$ найдем координаты векторов $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$:

$\vec{CA} = (x_A - x; y_A - y) = (4 - x; 1 - y)$
$\vec{CB} = (x_B - x; y_B - y) = (-2 - x; -3 - y)$

Найдем координаты суммы векторов $\vec{CA} + \vec{CB}$, сложив их соответствующие координаты:

$\vec{CA} + \vec{CB} = ((4 - x) + (-2 - x); (1 - y) + (-3 - y)) = (2 - 2x; -2 - 2y)$

Согласно условию задачи, $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$. Нулевой вектор $\vec{0}$ имеет координаты $(0; 0)$. Таким образом, мы получаем векторное равенство:

$(2 - 2x; -2 - 2y) = (0; 0)$

Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты. Это дает нам систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2 - 2x = 0 \\ -2 - 2y = 0 \end{cases}$

Решим эту систему. Из первого уравнения получаем: $2x = 2$, откуда $x = 1$.

Из второго уравнения получаем: $2y = -2$, откуда $y = -1$.

Следовательно, искомые координаты точки $C$ равны $(1; -1)$.

Также можно заметить, что условие $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$ означает, что точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Найдем ее координаты по формуле середины отрезка:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: C(1; -1)