Номер 198, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

198. Даны векторы $\vec{a}(3;-4)$, $\vec{b}(-2;7)$, $\vec{c}(-6;y)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}$.

198. Даны векторы $\vec{a}(3; -4)$, $\vec{b}(-2; 7)$, $\vec{c}(-6; y)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$.

Для того чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$, сначала найдем координаты этого результирующего вектора. Обозначим его как $\vec{d}$.

$\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$

Координаты вектора $\vec{d}$ вычисляются как сумма и разность соответствующих координат векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$.
Пусть $\vec{d} = (x_d; y_d)$.

$x_d = x_a + x_b - x_c = 3 + (-2) - (-6) = 3 - 2 + 6 = 7$

$y_d = y_a + y_b - y_c = -4 + 7 - y = 3 - y$

Таким образом, результирующий вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(7; 3 - y)$.

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{d}$. Модуль вектора с координатами $(x, y)$ вычисляется по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$|\vec{d}| = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{7^2 + (3 - y)^2} = \sqrt{49 + (3 - y)^2}$

Нам нужно найти наименьшее значение этого выражения. Функция квадратного корня является монотонно возрастающей, поэтому ее наименьшее значение достигается тогда, когда подкоренное выражение $49 + (3 - y)^2$ принимает свое наименьшее значение.

Рассмотрим выражение $49 + (3 - y)^2$. Число $49$ является константой. Выражение $(3 - y)^2$, будучи квадратом действительного числа, всегда неотрицательно, то есть $(3 - y)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно $0$ и достигается при условии $3 - y = 0$, то есть при $y = 3$.

Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения равно $49 + 0 = 49$.

Тогда наименьшее значение модуля вектора равно:

$|\vec{d}|_{min} = \sqrt{49} = 7$

Ответ: 7