Номер 193, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 2; 3; 6;

2) 4; 5; 9;

3) 5; 8; 12?

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 2; 3; 6;

2) 4; 5; 9;

3) 5; 8; 12?

Для того чтобы сумма трёх векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ была нулевым вектором, то есть $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, необходимо и достаточно, чтобы из этих векторов можно было составить замкнутый треугольник (возможно, вырожденный). Это, в свою очередь, означает, что их модули (длины) $a$, $b$, $c$ должны удовлетворять неравенству треугольника. Самый простой способ проверить это — убедиться, что модуль наибольшего вектора не превышает сумму модулей двух других. То есть, если $c$ — наибольший модуль, должно выполняться условие $c \le a + b$.

1) 2; 3; 6;

Пусть модули трёх векторов равны $a = 2$, $b = 3$ и $c = 6$.Проверим выполнение неравенства треугольника. Наибольший модуль равен 6. Сравним его с суммой двух других модулей:$a + b = 2 + 3 = 5$.Поскольку $6 > 5$, то есть $c > a + b$, неравенство треугольника не выполняется. Следовательно, из векторов с такими модулями невозможно составить замкнутый треугольник, и их сумма не может быть нулевым вектором.

Ответ: нет.

2) 4; 5; 9;

Пусть модули трёх векторов равны $a = 4$, $b = 5$ и $c = 9$.Проверим выполнение неравенства треугольника. Наибольший модуль равен 9. Сравним его с суммой двух других модулей:$a + b = 4 + 5 = 9$.Поскольку $9 \le 9$, то есть $c \le a + b$ (в данном случае $c = a + b$), условие выполняется. Это соответствует случаю вырожденного треугольника, когда все три вектора коллинеарны. Сумма векторов может быть нулевой, если два вектора с меньшими модулями (4 и 5) сонаправлены, а третий вектор (с модулем 9) направлен в противоположную им сторону.

Ответ: да.

3) 5; 8; 12?

Пусть модули трёх векторов равны $a = 5$, $b = 8$ и $c = 12$.Проверим выполнение неравенства треугольника. Наибольший модуль равен 12. Сравним его с суммой двух других модулей:$a + b = 5 + 8 = 13$.Поскольку $12 < 13$, то есть $c < a + b$, неравенство треугольника выполняется. Следовательно, из векторов с такими модулями можно составить замкнутый (невырожденный) треугольник. Если расположить эти векторы последовательно так, чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего, то конец третьего вектора совпадёт с началом первого. В этом случае их векторная сумма будет равна нулевому вектору.

Ответ: да.