Номер 194, страница 23 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

194. Даны векторы $\vec{a}(4; -5)$ и $\vec{b}(-1; 7)$. Найдите:

1) $\vec{a} + \vec{b}$;

2) $\vec{a} - \vec{b}$;

3) $\left|\vec{a} + \vec{b}\right|$;

4) $\left|\vec{a} - \vec{b}\right|$.

194. Даны векторы $\vec{a}(4; -5)$ и $\vec{b}(-1; 7)$. Найдите:

1) $\vec{a} + \vec{b}$;

2) $\vec{a} - \vec{b}$;

3) $|\vec{a} + \vec{b}|$;

4) $|\vec{a} - \vec{b}|.$

Даны векторы $\vec{a}(4; -5)$ и $\vec{b}(-1; 7)$.

1) $\vec{a} + \vec{b}$;

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, необходимо сложить их соответствующие координаты. Для векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ их сумма равна $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$.
Подставим координаты данных векторов:
$\vec{a} + \vec{b} = (4 + (-1); -5 + 7) = (3; 2)$.
Ответ: $(3; 2)$.

2) $\vec{a} - \vec{b}$;

Чтобы найти разность двух векторов, заданных своими координатами, необходимо из координат первого вектора вычесть соответствующие координаты второго вектора. Для векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ их разность равна $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$.
Подставим координаты данных векторов:
$\vec{a} - \vec{b} = (4 - (-1); -5 - 7) = (4 + 1; -12) = (5; -12)$.
Ответ: $(5; -12)$.

3) $|\vec{a} + \vec{b}|$;

Модуль (или длина) вектора $\vec{c}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Сначала найдем координаты вектора $\vec{a} + \vec{b}$, как в пункте 1:
$\vec{a} + \vec{b} = (3; 2)$.
Теперь найдем модуль (длину) этого вектора:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$.
Ответ: $\sqrt{13}$.

4) $|\vec{a} - \vec{b}|$.

Аналогично предыдущему пункту, сначала найдем координаты вектора $\vec{a} - \vec{b}$, как в пункте 2:
$\vec{a} - \vec{b} = (5; -12)$.
Теперь найдем модуль (длину) этого вектора:
$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
Ответ: $13$.