Номер 212, страница 25 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

212. Среди векторов $\vec{a}(3; -2)$, $\vec{b}(-9; 6)$, $\vec{c}(6; -4)$, $\vec{d}(-27; 18)$ укажите пары:

1) сонаправленных векторов;

2) противоположно направленных векторов.

212. Среди векторов $\vec{a}(3; -2)$, $\vec{b}(-9; 6)$, $\vec{c}(6; -4)$, $\vec{d}(-27; 18)$ укажите пары:

1) сонаправленных векторов;

2) противоположно направленных векторов.

Два вектора $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ называются коллинеарными, если существует такое число $k$, что выполняются равенства $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$. Иными словами, их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = k$.

• Если коэффициент пропорциональности $k > 0$, то векторы сонаправлены.
• Если коэффициент пропорциональности $k < 0$, то векторы противоположно направлены.

Проверим все пары векторов на коллинеарность и определим знак коэффициента $k$.

Даны векторы: $\vec{a}(3; -2)$, $\vec{b}(-9; 6)$, $\vec{c}(6; -4)$, $\vec{d}(-27; 18)$.

1) сонаправленных векторов

Ищем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ положителен.

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{6}{3} = 2$ и $\frac{-4}{-2} = 2$.

Отношения равны, $k = 2$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ сонаправлены. ($\vec{c} = 2\vec{a}$)

Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{-27}{-9} = 3$ и $\frac{18}{6} = 3$.

Отношения равны, $k = 3$. Так как $k > 0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$ сонаправлены. ($\vec{d} = 3\vec{b}$)

Проверка других пар показывает, что они либо не коллинеарны, либо противоположно направлены.

Ответ: $\vec{a}$ и $\vec{c}$; $\vec{b}$ и $\vec{d}$.

2) противоположно направленных векторов

Ищем пары векторов, для которых коэффициент пропорциональности $k$ отрицателен.

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{-9}{3} = -3$ и $\frac{6}{-2} = -3$.

Отношения равны, $k = -3$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены. ($\vec{b} = -3\vec{a}$)

Сравним векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{-27}{3} = -9$ и $\frac{18}{-2} = -9$.

Отношения равны, $k = -9$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{a}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены. ($\vec{d} = -9\vec{a}$)

Сравним векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{6}{-9} = -\frac{2}{3}$ и $\frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Отношения равны, $k = -\frac{2}{3}$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$ противоположно направлены. ($\vec{c} = -\frac{2}{3}\vec{b}$)

Сравним векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$:

Найдём отношение их координат: $\frac{-27}{6} = -\frac{9}{2}$ и $\frac{18}{-4} = -\frac{9}{2}$.

Отношения равны, $k = -\frac{9}{2}$. Так как $k < 0$, векторы $\vec{c}$ и $\vec{d}$ противоположно направлены. ($\vec{d} = -\frac{9}{2}\vec{c}$)

Ответ: $\vec{a}$ и $\vec{b}$; $\vec{a}$ и $\vec{d}$; $\vec{b}$ и $\vec{c}$; $\vec{c}$ и $\vec{d}$.